f(x,y)が原点からの距離r=√(x^2+y^2 )のみによる関数で

質問

f(x,y)が原点からの距離r=√(x^2+y^2 )のみによる関数であるとする、すなわちf(x,y)=h(r)=h(√(x^2+y^2 ))このとき
∂^2 f/∂x^2 +∂^2 f/∂x^2

をh'(r)=dh/dr (r),h'' (r)を用いてrの式で表せ
この問題の解き方と答えがわかりません。教えてください。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

代表的な微分（作用素）の変数変換です。
x=rcos(t)=rc.
y=rsin(t)=rs.
c=cos(t),s=sin(t)、と略す。

∂x/∂r=c.
∂x/∂t=-rs.
∂y/∂r=s.
∂y/∂t=rc.

∂f/∂r=fr.
∂f/∂t=ft.
∂f/∂x=fx.
∂f/∂y=fy.
と略す。

連鎖公式
fr=cfx+sfy.
ft=-rsfx+rcfy.

fx=cfr-(s/r)ft.
fy=sfr+(c/r)ft.

これより
∂/∂x=c(∂/∂r)-(s/r)(∂/∂t).
∂/∂y=s(∂/∂r)+(c/r)(∂/∂t).

∂fx/∂r=cfrr-(s/r)ftr+(s/rr)ft.
∂fy/∂r=sfrr+(c/r)ftr-(c/rr)ft.

∂fx/∂t=-sfr+cfrt-(c/r)ft-(s/r)ftt.
∂fy/∂t=cfr+sfrt-(s/r)ft+(c/r)ftt.

fxx
=c(∂fx/∂r)-(s/r)(∂fx/∂t)
=c[cfrr-(s/r)ftr+(s/rr)ft]-(s/r)[-sfr+cfrt-(c/r)ft-(s/r)ftt]
=(cc)frr-(cs/r)ftr+(2cs/rr)ft+(ss/r)fr-(cs/r)frt+(ss/rr)ftt.

fyy
=s(∂fy/∂r)+(c/r)(∂fy/∂t)
=s[sfrr+(c/r)ftr-(c/rr)ft]+(c/r)[cfr+sfrt-(s/r)ft+(c/r)ftt]
=(ss)frr+(cs/r)ftr-(2cs/rr)ft+(ss/r)fr+(cs/r)frt+(cc/r)ftt]

fxx+fyy=frr+(1/r)fr+(1/rr)ftt.

この問題の場合、角度に依存しないから「ft=0,ftt=0」となる。

fxx+fyy=h"+h'/r.

この問題に特化した解法なら、もう少し楽な計算過程になると思う。

お礼

ありがとうございます(*^^)v
とてもよくわかりました!(^^)!