バナッハ空間Xと、その上の弱連続な等長線型写像のなすsemi grou

質問

バナッハ空間Xと、その上の弱連続な等長線型写像のなすsemi group（積は合成）Sがあるとします。
ｘをXの０でない元とするとき、Xの部分集合｛ f(x): fεS }の弱閉包は、０を含むでしょうか？
長時間考えているのですが、どうしてもわかりません。どなたかお助けください。

回答No.2

muturajcp

x≠0
f(x)∈{f(x):f∈S}
とすると
fは等長
|f(x)|=|x|だから
{f(x):f∈S}⊂{y:|y|≧|x|}閉だから
{f(x):f∈S}の閉包をcl{f(x):f∈S}とすると
cl{f(x):f∈S}⊂{y:|y|≧|x|}
|x|>0だから
0∈{y:|y|<|x|}=X-{y:|y|≧|x|}⊂X-cl{f(x):f∈S}
0∈X-cl{f(x):f∈S}
∴
{f(x):f∈S}の閉包cl{f(x):f∈S}は0を含まない

お礼

回答ありがとうございます。
わからなかったのですが、{y:|y|≧|x|}は弱閉になりますか？

回答No.1

Anti-Giants

難しそうな問題ですね・・・。
私ごときには解けませんでした。

知っているかもしれませんが、「Xが無限次元ノルム空間のとき、{x∈X|norm{x}=1}の弱位相による閉包は{x∈X|norm{a}≦1}」です。これはヒントになりませんか。

お礼

考えてくださり、ありがとうございました。
ノルム空間の単位球面の弱閉包が閉単位球になることは、
知りませんでした。教えてくださりありがとうございました。
今のところまだ、解決できません。