線形写像について

質問

特に気にもしていなかった線形写像について
とある疑問をもったら、急に頭が混乱してしまいました。

R^4 から　R^2　への写像
T:(x1, x2, x3, x4) → (x2, x3, 0)
は線形写像ですが、こういった線形写像でのx1, x2, ... は、自然基底eに関する成分表示と決まっているのでしょうか？例えば、この点(x1, x2, x3, x4)の同じ線形空間での他の基底e'による成分表示が
(x'1, x'2, x'3, x'4)
であり、
T':(x'1, x'2, x'3, x'4) → (0, 0, x'4)
といった写像は "線形写像" とはいえないのでしょうか？
（つまり、基底e'の成分表示で表現した "線形写像" という言い方はないのか？）

そのために、"表現行列" といったものがあるのでしょうか。

非常にわかりにくい質問で申し訳ないのですが、
どなたかアドバイスを下さい。

回答No.3

mina5 · ベストアンサー

＞線形写像ですが、こういった線形写像でのx1, x2, ... は、自然基底eに関＞する成分表示と決まっているのでしょうか？

Ｒｎの場合、通常は自然基底で考えます。
なお通常基底でない場合は、そのつどその場合を考えればいいのではないでしょうか。そもそも通常基底でない場合シュミットの直交化で正規直交基底を選べるわけであるし、難しい特殊な基底を考える必然性がないと思います。ただでさえわかりにくいものを考えるのだから簡明なものを私なら選びますが。

お礼

>Ｒｎの場合、通常は自然基底で考えます。

ありがとうございます。
このお言葉で安心できました。
どうも細かいことを気にしてしまう性格で・・・。

みなさんの回答を参考に、もう一度線形代数
について、確認していきたいと思います。

回答No.2

yumisamisiidesu

結論から言うと基底の表現の仕方によって線形写像になったりならなかったりすることはありません．
まず、
1.線形写像の定義自体基底の取り方に関係ない
2.座標変換公式では線形写像の合成で表せる
3.同型写像の逆写像は線形写像になる
などを踏まえれば分ると思います．
ここで3.を示します
f:X→Y:同型,g=f^(-1)とすると
　g(y+y')
= f^(-1)(f(x)+f(x'))
= f^(-1)(f(x+x'))
=x+x'
=g(y)+g(y')

　g(cy)
= f^(-1)(cy)
= f^(-1)(cf(x))
= f^(-1)(f(cx))
= cx
= cg(y)

お礼

改めてご回答を見て、
>線形写像の定義自体基底の取り方に関係ない

とおっしゃっているのに、
基底の話をしてしまいました。
ごめんなさい。

頭を冷やして、出直してきます。

補足

>結論から言うと基底の表現の仕方によって線形写像になったりならなかったりすることはありません．

ごめんなさい、質問の仕方がちょっとダメでした。
これは一応理解できます。

根本的なことで混乱しているようで、
(2, 4, 9)
はそもそも何を表しているのか？というところでひっかかっているんだと思います。
自分のイメージでは、３つの直交する座標軸を x, y, z とした空間上で
ある点を、λ(1, 0, 0) + μ(0, 1, 0) + ν(0, 0, 1)
という線形結合で表した場合の、(λ, μ, ν) です。
（普通に３次元座標のイメージ）

けど、下を単位ベクトルとする座標系Γ'
(1/√2, 1/√2, 0) (1/√2, 0, 1/√2, 0) (0, 1/√2, 1/√2)
を改めて考えた場合、自然基底を座標とする点(2, 4, 9)は
(2, 4, 9) = λ'(1/√2, 1/√2, 0)+μ'(1/√2, 0, 1/√2, 0) + ν'(0, 1/√2, 1/√2)
から求められる
(λ', μ', ν')
になりますよね。

だから、線形写像を考えるとき
(x, y, z) → (2*x, 2*y, 3*z, 0)
　　↑　　　　　　↑
自然基底に　　　　自然基底による座標？
よる座標？　　　　それとも別の座標系？
それとも
Γ'による座標？
それとも・・・

という変な疑問がわいてきてしまうんです。
自分でも馬鹿らしい質問だなっておもうのですが、
何か引っかかるんです。
すごい誤解をしているんだとおもいます。

もう少し冷静になって、教科書を読み直してみます。

回答No.1

noname#48504

線形写像の定義とは何だったでしょうか？　$f$ が線形写像であるとは、次の二つの定義を満たすことでしたね。

(i) $?forall x , y ?in V$ に対し、$f(x + y) = f(x) + f(y)$
(ii) $?forall x ?in V , ?forall c ?in K$ に対し、$f(cx) = cf(x)$

ご質問の写像がこの性質を満足すれば、定義よりそれは線形写像です。

また、（線形写像 $f$ に対する）表現行列とは、$?forall x ?in V ?setminus ?{ 0 ?}$ に対し、

$Ax = f(x)$

が成立するような行列 $A$ のことです。

また、「基底e'による成分表示」というのは、ちょっと私にはよく分からないのですが、、、。$(x'_1, x'_2, x'_3, x'_4) = ?sum x'_i e_i $ ということなのでしょうか？ その辺がはっきりしないと、何と回答したら良いものかわからないもので、、、。

もう一度整理してからまた質問してみてください。

お礼

ありがとうございます。
せっかくご回答いただいたのに申し訳ないのですが、
$?forall x , y ?in V$　・・
といった$と?の表記の仕方がいまちいわかりませんでした＾＾；
ごめんなさい

>「基底e'による成分表示」

例えば次のような R^2 → R^3 の線形写像

T:(x1, x2) → (2*x1, 2*x2, 0)

このx1, x2 とはそもそも何だ！というレベルまで混乱しています。
e1 = (1, 0)
e2 = (0, 1)
を基底とした成分表示（座標？）なのか、それとも
e'1 = (√2/2,√2/2)
e'2 = (-√2/2, √2/2)
を基底とした成分表示なのか。移った後の(2*x1, 2*x2, 0)とは、
e1 = (1, 0, 0)
e2 = (0, 1, 0)
e3 = (0, 0, 1)
を基底とした座標なのか。

基底の取り方で、(a, b, c, d, ...) があらわす点の意味は変わってきますよね。

うまくせつめいできず、ごめんなさい。