リーマン面の問題です。

質問

リーマン面の問題です。

連続関数
ｆ：C^2-(x≠0) → C ； (a,b) → b/a は
C^2全体からP^1への連続写像に延長できるか。

答えは出来ないみたいなのですが、
どうしてできないのか分からなくて困っています。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

R=(全実数),C=(全複素数)
(r,a)∈R×C-{(0,0)}に対して
[r,a]={(tr,ta)|t∈R-{0}}とすると
∀t∈R-{0}→[r,a]=[tr,ta]となる
P={[r,a]|(r,a)∈R×C-(0)}と射影空間Pを定義すると
j:C→P,j(a)=[1,a],jは単射となるから
複素数aと[1,a]を同一視しa=[1,a],C⊂Pとする

f:((C^2)-({0}×C))→C； f(a,b)=b/a
を
f:C^2→P へ拡張したとすると
∀n∈N=(全自然数)
に対して(iは虚数単位とすると)
f(-i/n,1)=ni=[1,ni]=[1/n,i]
f(1/n,1)=n=[1,n]=[1/n,1]
だから
lim_{n→∞}(-i/n,1)=(0,1)=lim_{n→∞}(1/n,1)
lim_{n→∞}f(-i/n,1)=[0,i]≠[0,1]=lim_{n→∞}f(1/n,1)
fは(0,1)で不連続となるから
連続写像に延長できない

回答No.1

Anti-Giants

まず、定義を正確に書きましょう。

(x≠0)ってどういうことですか？

fはCへの写像なのに、P^1へ「延長」とはどういいうことですか？