漸化式 a_n = (n+1)a_(n-1) - (n+1)a_(n-2) +1 の解き方

質問

漸化式が解けなくて困っています.
(漸化式): a_n = (n+1)a_(n-1) - (n+1)a_(n-2) +1
(条件) : a_1=1, a_2=4　
この漸化式を解く方法，または，そのヒントをどなたか教えていただけないでしょうか？
出来れば，高校生が分かるレベルでの解法でお願いします．
あと，係数に変数が入っている漸化式は，数学的帰納法を使えない場合，一般的にどうやって解けばいいのでしょうか？
よろしくお願いします．

回答No.2

Tacosan

あまり考えていないので大外れかもしれないけどぱっと思い付いたこと:
まず b_n = a_n-1 とおく. b_n = (n+1)b_(n-1) - (n+1)b_(n-2) となる. そこで
b_n = (n+1)b_(n-1) - (n+1)b_(n-2)
b_(n-1) = nb_(n-2) - nb_(n-3)
b_(n-2) = (n-1)b_(n-3) - (n-1)b_(n-4)
....
b_4 = 5b_3 - 5b_2
b_3 = 4b_2 - 4b_1
を全部ごっそり足すと左辺は
b_n + b_(n-1) + ... + b_3, 右辺は
(n+1)b_(n-1) - b_(n-2) - b_(n-3) - ... - b_2 - 4b_1
= (n+1)b_(n-1) - [b_(n-2) + b_(n-3) + ... + b_2] - 4b_1
となるので, ここから何かできるかもしれない.

お礼

ヒントありがとうございます！
これを使ってもうちょっと頑張りたいと思います。

回答No.1

nag0720

＞係数に変数が入っている漸化式は，数学的帰納法を使えない場合，一般的にどうやって解けばいいのでしょうか？

A_1=1
A_n=n*A_(n-1)

の場合は簡単ですね。
A_n=n！

A_1=1
A_n=n*A_(n-1)+1

の場合は、まずはA_2,A_3などを求めてみましょう。

A_2=2*1+1
A_3=3*2*1+3+1
A_4=4*3*2*1+4*3+4+1
A_5=5*4*3*2*1+5*4*3+5*4+5+1
A_6=6*5*4*3*2*1+6*5*4*3+6*5*4+6*5+6+1

ここまでくれば、見えてきましたね。つまり、

A_n=n！+n！/2+n！/(2*3)+n！/(2*3*4)+・・・・+n！/(n-1)！+n！/n！
　　=Σ[i=1→n](n！/i！)

A_1=1
A_n=n*A_(n-1)+n

の場合は、
A_n+1=n*(A_(n-1)+1)+1
とすれば、上記の場合と同じになります。

さて、問題の
A_n=(n+1)A_(n-1)-(n+1)A_(n-2)+1
ですが、

こういう場合は、
A_n-pA_(n-1)=q(A_(n-1)-pA_(n-2))+1
の形に変形して、
B_n=A_n-pA_(n-1)
とおいて解くのが一般的なのですが、残念ながらこの問題ではp,qは簡単な解にはならないのでお手上げです。

A_n=(n+1)A_(n-1)-nA_(n-2)+1
なら
A_n-A_(n-1)=n(A_(n-1)-A_(n-2))+1
となって解けるんですがねえ・・・

お礼

やっぱり難しいですよね・・・
考えてくださってわざわざありがとうございます。