漸化式からa_{a+1}<a_{n}を言いたい

質問

よろしくお願いします。

漸化式
a_{n+2}=1-｜a_{n+1}｜+a_n，a_1=-2，a_2=-3
が与えられたとき，
a_{n+1}<a_n
を示したいです。実験すれば直感的には明らかですが，きちんと言う方法を教えていただけますか。

回答No.1

hitomura · ベストアンサー

・まず、a_n<-1 が常に成り立つことを示します。

(1) n=1,2のときは定義から成り立つ。
(2) n=3のときはa_3=1-|-3|+(-2)=-4<-1となるから成り立つ。
(3) n=k+1まですべて成り立つと仮定してn=k+2のときは、a_{k+1}<-1だから|a_{k+1}|=-a_{k+1}となり、
　a_{k+2}=1-｜a_{k+1}｜+a_k=1-(-a_{k+1})+a_k=1+a_{k+1}+a_k<1+(-1)+(-1)=-1
となるから、a_{k+2}<-1が成り立つ。
したがって、数学的帰納法により、a_n<-1が常に成り立つ。

・つぎに、本題のa_{n+1}<a_nを示します。

(1) n=1のときは定義から成り立つ。
(2) n=2のときはa_3=-4<-3=a_2となるから成り立つ。
(3) n=kのときに成り立つと仮定してn=k+1のときは、
　a_{(k+1)+1}=a_{k+2}=1+a_{k+1}+a_k
となる。ここで、任意のnに対してa_n<-1だから、1+a_k<0となり、
　a_{(k+1)+1}=a_{k+1}+(1+a_k)<a_{k+1}+0=a_{k+1}
が成り立つ。
したがって、数学的帰納法により、a_{n+1}<a_nが常に成り立つ。

お礼

ありがとうございます。大変よくわかりました。