因数分解について。

質問

因数分解について。

あるＳＰＩの参考書に載っていたx^4+x^2+1という問題なんですが、
x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)という風になるようです（参考書の解答にありました）。
なぜにx^4+x^2+1が(x^2+1)^2-x^2になるのでしょうか？
(x^2+1)^2までは分かるのですが、それに-x^2と続くのが判りません。
x^4+x^2+1=(x^2+1)^2+x^2になるのではないでしょうか？

当方、アホです。
一応、他のはなんとか分かったのですが、上のやつだけどうしてもシックリきません。

どうか宜しくお願いします。

回答No.6

nattocurry · ベストアンサー

#5です。
#5の回答は、一部、重要なところを間違えているので、そちらは無視してください。
訂正して再投稿します。

> x^4+x^2+1=(x^2+1)^2+x^2になるのではないでしょうか？

良いところまで行ってるんですけど、ちょっと勘違いしていますね。

(x^2+1)^2+x^2 を展開してみてください。

x^4+2x^2+1+x^2=x^4+3x^2+1

になりますよね？

たぶん、

(x^2+1)^2　を作るためには、x^4+x^2+1 を x^4+2x^2+1 にする必要があって、そのためには、元の式に x^2 を足さなきゃならない、
というところまでは、合っています。
でも、そのあとが違います。

x^4+x^2+1 に x^2 を足すから、(x^2+1)^2+x^2 ではありません。逆です。

x^4+x^2+1 に x^2 を足すから、帳尻を合わせるために 引かなきゃなりません。
(x^2+1)^2-x^2です。

2乗の形にしてから考えるから、混乱するのでは？
面倒臭がって途中の計算式を省かずに、
x^4+x^2+1
=x^4+x^2+1+x^2-x^2
=x^4+2x^2+1-x^2
=(x^2+1)^2-x^2
と書くと、理解できると思います。

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。

成程よく分かりました。
丁寧な解説、ありがとうございました。

回答No.5

nattocurry

> x^4+x^2+1=(x^2+1)^2+x^2になるのではないでしょうか？

良いところまで行ってるんですけど、ちょっと勘違いしていますね。

(x^2+1)^2+x^2 を展開してみてください。

x^4+2x^2+1+x^2=x^4+3x^2+1

になりますよね？

たぶん、

(x^2+1)^2　を作るためには、x^4+x^2+1 を x^4+2x^2+1 にする必要があって、そのためには、元の式に x^2 を足さなきゃならない、
というところまでは、合っています。
でも、そのあとが違います。

x^4+x^2+1 に x^2 を足すから、(x^2+1)^2+x^2 ではありません。逆です。

x^4+x^2+1 に x^2 を足すから、帳尻を合わせるために 引かなきゃなりません。
(x^2+1)^2+x^2です。

2乗の形にしてから考えるから、混乱するのでは？
面倒臭がって途中の計算式を省かずに、
x^4+x^2+1
=x^4+x^2+1+x^2-x^2
=x^4+2x^2+1-x^2
=(x^2+1)^2-x^2
と書くと、理解できると思います。

回答No.4

noname#116057

(x^2＋1)^2＝x^4＋2x^2＋1を無理矢理つくるためです。だから与式は
x^4＋2x^2＋1－x^2となるのです。－x^2で帳尻合わせをしているのです。

お礼

お礼が遅れて申し訳ございません。

よく分かりました。ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

公式 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 さえ解っていれば、
(x^2 + 1)^2 + x^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) + x^2 = x^4 + 3x^2 + 1 でしょ。
(x^2 + 1)^2 + x^2 = x^4 + x ^2 + 1 には、ならないでしょ。

お礼

ありがとうございました。
お礼が遅れて申し訳ありません。

回答No.2

sanori

こんにちは。
これは平方完成です。

Ａ　＝　ｘ^2　と置けば、
与式　＝　ｘ^4　＋　ｘ^2　＋　１
　＝　Ａ^2　＋　Ａ　＋　１
　＝　Ａ^2　＋　２Ａ　－　Ａ　＋　１
　＝　（Ａ^2　＋　２Ａ　＋　１）　－　Ａ
　＝　（Ａ　＋　１）^2　　－　Ａ

ここで仕上げに、Ａ　を　ｘ^2　に取り替えます。

お礼

よく分かりました。
分かりやすい解説、ありがとうございます。
お礼が遅れて申し訳ありません。

回答No.1

178-tall

(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 だから、だと思われます。

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。
ありがとうございました。