x^(2/3) と 3√(x^2)（根号の中にx^2が入っています）

質問

x^(2/3) と 3√(x^2)（根号の中にx^2が入っています） はおなじものですよね？

数式ソフトでグラフを描くと，前者は後者の右半分しか出ません。

どういうことなのでしょうか…。よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

複素数の範囲では、
-1 = cos(π) + i sin(π)
　　= cos(π+2nπ) + i sin(π+2nπ)　　; n は任意の整数
　　= e^{ i (π+2nπ) }　
より、
(-1)^(2/3) = e^{ i (π+2nπ)(2/3) }
　　　　　　= e^{ i ((4n+2)/3)π }
となります。

3^(1/2) と書くと、√3 とは異なり
3^(1/2) = ±√3 であって、値が一つに決まらない
のと同様に、(-1)^(2/3) の値も一つには決まりません。

いくつかある値の中には、例えば n = 1 のとき
(-1)^(2/3) = e^(i 2π) = 1 というように、
x^2 の三乗根 と等しい値も含まれてはいるのですが。

回答No.2

sanori

コメントにお答えします。

ｙ　＝　3√（ｘ^2）
ｘ＝８　のとき　ｙ　＝　６４^(1/3)　＝　４
ｘ＝１　のとき　ｙ　＝　１^(1/3)　＝　１
ｘ＝０　のとき　ｙ　＝　０^(1/3)　＝　０
ｘ＝－１　のとき　ｙ　＝　１^(1/3)　＝　１
ｘ＝－８　のとき　ｙ　＝　６４^(1/3)　＝　４

ｙ　＝　ｘ^(2/3)
ｘ＝８　のとき　ｙ　＝　６４^(1/3)　＝　４
ｘ＝１　のとき　ｙ　＝　１^(1/3)　＝　１
ｘ＝０　のとき　ｙ　＝　０^(1/3)　＝　０
ｘ＝－１　のとき　ｙ　＝　（－１）^(2/3)　＝　？！（実数ではない）
ｘ＝－８　のとき　ｙ　＝　（－８）^(2/3)　＝　？！（実数ではない）

ちなみに、複素数を考えてよいならば、オイラーの公式より
－１　＝　cosπ　＋　ｉsinπ　＝　ｅ^(iπ)

（－１）^(2/3)　＝　ｅ^(iπ・2/3)
　＝　cos（２／３・π）　＋　ｉsin（２／３・π）
　＝　cos１２０°　＋　ｉsin１２０°
　＝　－１／２　＋　（√３）ｉ／２

（－８）^(2/3)　＝　（－１）^(2/3)　×　８^(2/3)
　＝　４（－１／２　＋　（√３）ｉ／２）
　＝　－２　＋　２√３ｉ

回答No.1

sanori

こんにちは。

＞＞＞おなじものですよね？

違います。
ｘ^(2/3) は、ｘ＜０　の範囲に曲線は登場しません。

3√(x^2)　は、最初にｘを２乗しますから、ｘ＜０　でも曲線が出現してくれるのです。

補足

ご回答ありがとうございます。

3√(x^2)　は、最初にｘを２乗するとのことですが，
それに対し，ｘ^(2/3)はどういった扱いになるのでしょうか？