■y=x^2 と x=a の接点が無いことの証明■

質問

y=x^2とx=a（aは実数）の接点（交点ではない）が無いことの証明は
どのようにすべきでしょうか？

微分すれば傾きは2xであり、x=aでの傾きが2a≠tan90°であるので、
傾きとx=aは平行でないので接しない。よって、接点は無い。
とできそうですが、微分を使わずに綺麗に証明できないものでしょうか？

例えば、y=x^2とy=bの交点は前者に後者を代入すればすぐにx=±√b
と出せますよね。そんな簡単さを求めています。
以上、変な質問ですがよろしくお願いします。

回答No.3

adinat · ベストアンサー

>♯2様
二つの曲線がある点において接するというのは、その点におけるおのおの接線が互いに一致することを言います。したがって、そこに書かれているのでまったく正しいです。

>質問者様
円の接線であれば、幾何学的な考察でもできる(だから中学生向けの問題とも解釈できる)のでよいですが、放物線となるとそうはいきません。ただ、円も放物線も二次曲線ではあるので、判別式を利用した解法はありです。しかし、今の場合、陽関数表示できない直線x=aを考察しているので、この2式からyを消去することが出来ません。どうしても中学生に納得させたいのであれば、多少数学的ではなくなりますが、放物線の絵を描いて、どんな縦の直線とも接してないですよね、というしかないと思います。

そもそも接点というのは、一種の交点（ただし横断的には交わらない）であるので、二次曲線なら直感的な議論が出来ますが、前にも出された例と同じですが、たとえばy=x^3と直線y=0は原点で接している、といいます。ですのでやはり正確に、「接線が一致する」ということを利用すべきです。今の場合、相手が直線であるので、接線がその直線と一致しなければ、接点が存在しないことになりますが、放物線上の任意の点における接線は有限の傾きを持つので、それは矛盾する、という質問者様のような解答はやはり必要です。

余談ですが、放物線y=x^2と直線x=aはa=∞（普通の＋∞とか-∞とはちょっと違う意味ですが、似たようなものです）のとき接していると考えることも出来ます。ちょうど傾きが∞になっているという感じですよね。

お礼

かんたんには説明しにくいということですね。
式自体が簡単なのでもっとスパッといけると思っていました。
単純すぎる式、ここで言えばx=aのような式って苦手です。
中学生に説明というか、自分の脳みそが硬すぎると思い、
質問させてもらったのです。柔らかい頭には微分無しで、
なんとなくではなく、カチッと解けるのでは？って。
回答ありがとうございました。

回答No.2

velvet-rope

回答にならないかもしれませんが・・・

「2つの曲線が接する」の定義について確認させてください。
任意の曲線y=f(x)とy=g(x)の2つがx=aで接するとは
　f(a)=g(a)　かつ　f'(a)=g'(a)が成り立つ
という定義だと理解していたのですが、正しいでしょうか。

例えば、y=x^2-4x+4とy=0がx=2で接する根拠として、2次方程式
　x^2-4x+4=0
が重解をもつから(微分を必要としない)というのは、
y=x^2-4x+4とy=0がともに整関数だからではないでしょうか。
微分係数を考えなくてもいいのは、特殊なケースだからだと思います。
接するかどうかは、微分係数ありきではないのでしょうか。

ところで、No.1さんの回答で
＞ 任意のf(x)とg(x)について、接点があるということは、
＞ 接点のx座標aと任意の数bについて
＞
＞ f(a+b)>g(a+b)　かつ　f(a-b)>g(a-b)　または
＞ f(a+b)<g(a+b)　かつ　f(a-b)<g(a-b)　が成立する
とあったのですが、下記の例では成り立たないのではないでしょうか。
　f(x)=x^3
　g(x)=2x^3
y=f(x)とy=g(x)はx=0で接しますが、
　f(1)>g(1)　かつ　f(-1)<g(-1)
となります。
私の中で、「接する」という定義が不確かなのですが、
上記の例について、いかがでしょうか。
そもそもこの場合、「x=0で接する」とは言わないのでしょうか。

と、逆に質問してしまいましたが、よろしくお願いいたします。

お礼

接する・・・以外に調べにくい定義ですね。
＞f(a)=g(a)　かつ　f'(a)=g'(a)が成り立つ
これで正しいとは思いますが。

x^3と2x^3は確かに交わるのに、０での傾きは等しいですね。
意外な発見です。なんだか難しくなってきました。
接するとは交わらないイメージがありましたが、それは間違い
なのかもしれません。
円の場合はただ一点を”共有”する場合を接するというようです。
すみません、もっと簡単に収拾がつくと思っていました。
興味深い提起ありがとうございました。

回答No.1

FEX2053

まあ、微分の原点に立ち返って、ですね。

任意のf(x)とg(x)について、接点があるということは、
接点のx座標aと任意の数bについて

f(a+b)>g(a+b)　かつ　f(a-b)>g(a-b)　または
f(a+b)<g(a+b)　かつ　f(a-b)<g(a-b)　が成立する

わけですよね。
ここで、Y=X^2とX=aについては上記が成立しない

・・・というのじゃダメですか？

お礼

最初はなんのことやらわかりませんでしたが、
図を描いてみて理解できました。接線の片側にf(x)が
もう一方側にg(x)がなくてはならない、ということだと
解釈します。初めて見るやり方ですが、私には少し
難しいと感じました。ただf(x)=x^2とすると、g(x)は
どうやって表せるのでしょうか？図に表すと、仰っている
証明方法がわかりますが、式で証明しようとすると
つまずいてしまいます。できれば中学生くらいの知識で
理解できればと考えています。
回答ありがとうございました。