複素数の範囲で何乗しても同じになる等式。

質問

以下は合ってますか？
定数a,bを使った等式：a=bはa=aかつb=bと見れるため複素数の範囲で何乗しても同じですが、変数ｘを使ったf(x)=2などはｘを定数として見れない（ｘ＝±２などがある。）ため複素数の範囲で何乗しても同じになるとは限らない。

回答No.5

rabbit_cat

なんか、私自身が、中学一年で、「移項」を習ったときに感じた疑問と、同じような話かも。

中学一年の数学の授業で、移項を習うとき、天秤の絵を見せられて、つりあってる天秤の両方に同じものを足したり、弾いたり、あるいは、掛けたりしても、天秤はつりあったままでしょう、みたいな説明をするはずです。
当時の私は、
「なるほど、つりあってる天秤の両側に同じ数を加減乗除しても天秤はつりあったままなのか。じゃあ、例えば、両辺を同じ数でべき乗してもいいんだろうか？あるいは、もっとわけわからん操作をした場合は？」
とか自分の中でい疑問がわいて、モンモンとしていました。

あるとき、そうか、a=bって、aとbは同じ数だって言っているわけで、どんなに複雑な操作であろうと、同じ数に同じ操作をすれば、同じになるのは当然じゃないか、と思いいたって自分の中で解決したわけです。

つまり、中学一年の授業で習ったような、等式を天秤の絵をイメージして、左側においてある何か、と右側に置いてある何かが釣り合っている、と捉える見方自体がおかしいわけです。

等号は、左側に置いてあるモノと、右側に置いてあるモノが「釣り合っている」、という意味ではなくて、左側にあるモノと右側にあるモノが「同じものである」という意味なわけです。
そう考えれば、等号の両側に、どんな複雑な操作をしようが（複素数の範囲でべき乗するなど）、等号が成り立つというのは、当たり前の話です。同じものに同じ操作をしたら同じものになるでしょ。

お礼

ありがとうございます(^^♪
そうですよね～
理解の仕方が多種多様で、また、概念的で掴みにいんですよね・・
結論として、等式の両辺は何乗しても、どの操作をしても成り立つという事ですね～（反例がある記憶があるので、それは除外するというやり方でいきます）

回答No.4

Mathmi

＞変数を含む等式も、その等式の両辺を複素数乗しても、その複素数乗した後の等式が成り立つ

考えれば簡単な事なのですが、

等式x=a……(1)
(1)の両辺をn乗した等式：x^n=a^n……(2)

等式(2)のxに等式(1)を代入すると、x^n=a^nに変換でき、式(2)はa^n=a^nとなります。

これが関数でも同じです。
f(x)=aの両辺をn乗した式は、{f(n)}^n=a^n
上と同様に代入すると、{a}^n=a^nという式になります。
xの解がどれだけ存在しようと、等式が成り立つ事には変わりありません。

質問されてる事と異なる場合は、申し訳ありませんが、聞き流すか異なる点を指摘願います。

お礼

複素数乗してはいけない時はないという事ですね。
疑問に思う各事項は高校数学の問題にて、厳密に理解し覚えておきます。

補足

ありがとうございます(^^♪

回答No.3

f272

> 定数a,bを使った等式：a=bはa=aかつb=bと見れるため複素数の範囲で何乗しても同じですが

これは何と何が同じだといってるのですか？
なお，「a=b」と「a=aかつb=b」は全然違うものですよ。

> 変数ｘを使ったf(x)=2などはｘを定数として見れない（ｘ＝±２などがある。）
> 変数ｘが含まれた式はｘを定数として見れない（ｘ＝±２などがある。）

どっちでもいいけど，xが変数と仮定しているのなら，xは定数でないのはその通りです。

> ため複素数の範囲で何乗しても同じになるとは限らない。

これも何と何が同じだといってるのですか？
また，同じになるとは限らないという例をあげてもらえると，あなたの主張を理解しやすくなります。

お礼

＞なお，「a=b」と「a=aかつb=b」は全然違うものですよ。
違うんですね(*_*)
> ため複素数の範囲で何乗しても同じになるとは限らない。
これも何と何が同じだといってるのですか？
また，同じになるとは限らないという例をあげてもらえると，あなたの主張を理解しやすくなります。
複素数乗する前の等式と複素数乗した後の等式についてです。
値がひと通りに定まらない例が同じになるとは限らないにあたる事がno.2さんのお助けで分かりました(*_*)

補足

間違えました・・
ありがとうございます(^^♪

回答No.2

Mathmi

何を尋ねてらっしゃるのかが分からないのですが

・等式a=bの場合、何乗してもa^n=b^nのように一通りに定まる。
・例えば関数f(x)=aの解がx=±2である時、x^3=±8であり、一つに定まらない。
・故に変数が含まれる場合、等式の両辺を何乗かした場合、等式が成り立つとは限らない。

という主張なのかな、と推測しました。違っていたら無視してください。

結論から言えば違います。
関数f(x)=aの解がx=±2である、というのは、x=+2、x=-2のどちらでも与式が成り立つ、という意味です。
決してxが±2という「ただ一つの値」である、という意味ではありません。

お礼

ありがとうございます(^^♪
思いの他厳密な定義がいるようですね(・・)
抽象的でムズかしいんですが、変数を含む等式も、その等式の両辺を複素数乗しても、その複素数乗した後の等式が成り立つという事ですね？
でも、ひと通りの値に定まる事に限定すると定数のみの等式に限られるという事ですね？

回答No.1

spring135

＞f(x)=2などはｘを定数として見れない（ｘ＝±２などがある。）

数学になっていません。

お礼

ありがとうございます(^^♪
f(x)=2などはｘを定数として見れない（ｘ＝±２などがある。）
→
変数ｘが含まれた式はｘを定数として見れない（ｘ＝±２などがある。）と訂正します。