代数幾何のCorollary が分からないです

質問

以前もおせわになったのですが、論文を読んでいて、数学で困っています。
代数幾何のCorollary が分からないです。 助けてください・・・。

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Corollary:
Let S be an algebraic curve, and x be an arbitrary point.
Then, the number of arcs belonging to S and originating from x is always even (possibly zero).
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(1)
　「系：S を代数曲線とする。そして、x を任意の点とする。
　　そしたら、x から始まる S 上の「弧」の数はいつも偶数個である。」

という意味だと思うのですが、書いてあることが良く分かりません。

たとえば、x^2 + y^2 = 1 という円の上の点を考えて、
(1,0)からの角度を θとすると、

・ θ∈[ 0, 1/4*π ] の弧
・ θ∈[ 0, 1/2*π ] の弧
・ θ∈[ 0, 3/4*π ] の弧
・ θ∈[ 0, π ] の弧

などなど、(1,0)から始まる弧の数は無限にあるような
気がするのですが、なにがおかしいのでしょうか。

---<つづき>----
These arcs always uniquely partition themselves into pairs
so that the two arcs belonging to the same pair are
analytic continuations of each other,
and are not analytic continuations of any other arc originating from x.
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(2)
　「これらの弧は、自分たち自身を unique なペアに分割する？？・・・」

弧が弧を分割する、というのが良く分からないのですが、
どういうことでしょうか？

よろしくおねがいいたします。

（http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=589712 では
　nakaizuさん、uyamaさんにお世話になりました。前のつづきです。）

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

用語の統一がとれてないようですが、ここでは一点から同一方向へ伸びているarcを同一視しているようです。
つまり、円x^2+y^2=1の(1,0)からはじまるarcは時計回りのものと、反時計回りのものの二つあるということでしょう。
代数曲線は交差していることがあります。たとえば∞の形の代数曲線では真ん中で交差しています。この交点からはじまるarc は4つあることになりますが(4方向に伸びている)、このうち滑らかにつなげることのできるものと、角があるようにしかつなげられないものがあります。つまり滑らかに繋がるarc同士に分類することができます。
この場合は×の部分で／の形になっている二つのarcと＼の形になっている二つのarcに分類されます。
一般的に1点で何本かの代数曲線が交差している時には解析的につなげることのできるペアにarcを分ける(分類する)ことができます。
こんな説明でおわかりになるでしょうか。

お礼

分かりやすい説明をありがとうございます。
原文の分かりにくかったところも含めて、完璧に理解できました！