代数幾何のレンマと英語がちんぷんかんぷん

質問

経済の論文を読んでいて、数学がまったく分かりません。
代数幾何（たぶん？）のレンマと英語が分からないです。
助けてください・・・。

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Lemma: Let (x0, x*) be an arc of an algebraic curve S
in a m-dimensional Euclidean space X^m, connecting the two points x0 and x* ∈ X^m (x0 ≠ x*)
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(1) algebraic curve S（代数曲線？）とは、例えば、双曲線
（x^2 - y^2=0）のように、代数方程式で書かれる曲線のこと
でしょうか？

(2) "arc（弧？）" of an algebraic curve S とは、
代数曲線の一部、ということでしょうか？

例えば、x^2 - y^2=0 で、1 < x < 2, y > 0 の部分とか。

↓上の文の続きです。

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Then, this arc (x0, x*) can be
uniquely continued analytically
beyond point x* (and beyond point x0).
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(3) The arc can be continued （続けることができる？）とは、
どういう意味なのでしょうか？

単に、「弧(x0, x*) を伸ばして延長することができる」
というだけなら、それは線を伸ばせばできますが、
それだと、なんかあたりまえのような気もしますし？

(4) analytically continue とか analytic continuation とかどういうことでしょうか？
直感的な意味が分かるとうれしいのですが。。

以上、よろしくおねがいします。

回答No.5

nakaizu · ベストアンサー

>例えば、x^2 + y^2 = 1 ( x >= 0) は、x^2 + y^2 = 1 ( x <= 0) へと解析的に延長する以外に、

　・( 0, 1 ) で y = 1 ( y <= 0) へと、
　・( 0,-1) で y = -1 (y <= 0) へと、

>それぞれ解析的に延長できるような気がするのですが、

これは解析的な延長にはなっていないのです。
y=√(1-x^2) (x>=0のとき)
y=1 (x<=0のとき)
という関数を考えてみると、x=0でグラフは確かに滑らかに繋がっているように見えます。しかし、微分したy'のグラフを描くとx=0で角があるグラフになります。角張っていると微分できませんから、この関数は二回目の微分ができなくなります。
解析関数は何回でも微分できる関数ですから、この関数は解析関数ではないということです。

解析関数は一部の区間で定義されたとすると、全体が解析関数になるようにグラフを延長する方法は一つかありません。これが解析関数の特徴の一つです。
したがって、代数曲線ではなくても解析関数で表される曲線は同様の性質をもっている筈です。

お礼

分かりやすい説明をありがとうございます！完全に理解できたと思います。たすかりました。

ちなみに、nakaizu さんが以前、

> 代数曲線は特異点という厄介なものがある場合もありますが、

と書いてらっしゃいましたが、たしかに論文のProofを読むと、

「x* が singular point でなければ、陰関数定理から云々（ここはよくわからないのですが、また勉強します）。x* が singular point の時は、"Einfuhrung in die Algebraische Geometrie, by B.L.van der Waerden(1939)" の Theorem 14 から云々」

と書いてありました。このへんは全く分からないので勉強しないとだめですが、定理の意味は分かったのでよかったです！

回答No.4

uyama33

No.1 です。

解析接続ではなかったようです。
間違えました。
ごめんなさい。

お礼

いえ、おかげさまで解析接続を勉強をする良い機会になりました。
（キーポイント 複素関数 という本を買って該当部分を読みました）

回答No.3

nakaizu

表現がまずかったようです。
たとえば円(x^2+y^2=1)の一部といっても
[0<x<0.5に当る部分]は二つに別れた弧ですし、
[四点(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)]はばらばらの点の集まりです。こういった「一部」ではなく、つながった「部分」がarcということです。双曲線の一部でもかまいません。

analytic continuation は解析接続の意味で使われることも多いと思いますが、ここでは違う意味で使われています。
つまり、弧の端の近傍で、弧とその延長線が解析関数で表されるような延長ができるということです。
少し詳しく言うと
m次元空間の中の曲線は一般的にx1=f1(t),x2=f2(t),…,xm=fm(t)とm個の関数と媒介変数tによって表されます。(m次元空間の座標をx1,x2,…,xmとしました)これらの関数が全て解析関数になるようにできるということです。
解析関数についての詳しい説明はしませんが、テイラー展開できる関数と思えばよいでしょう。
代数曲線は特異点という厄介なものがある場合もありますが、一般には解析関数で表されますから、解析的に延長する仕方が一通りしかなければ、もともとの代数曲線になるはずです。

お礼

arc の意味、analytic continuation のここでの意味ついてとてもよく理解できました。
解析的に、というのは、テイラー展開できる関数で、と考えればよいのですね。
分かりやすい説明をありがとうございます。

> つまり、弧の端の近傍で、弧とその延長線が解析関数で表されるような延長ができるということです。
> ・・・・・・・・・・
> 一般には解析関数で表されますから、解析的に延長する仕方が一通りしかなければ、
> もともとの代数曲線になるはずです。

ここについて質問があるのですが、お願いします。

例えば、x^2 + y^2 = 1 ( x >= 0) は、x^2 + y^2 = 1 ( x <= 0) へと解析的に延長する以外に、

　・( 0, 1 ) で y = 1 ( y <= 0) へと、
　・( 0,-1) で y = -1 (y <= 0) へと、

それぞれ解析的に延長できるような気がするのですが、
「uniquely」 continued analytically ・・
となっているのはなぜなのでしょうか？

とんちんかんな質問になっているかもしれないのですが、延長、ということについて、いまいち理解しきれていないと思いますので、よろしくお願いいたします。

補足

お礼のところに書いたあとに分かった気がします。

つまり、延長した全体が、「一つの」代数曲線であらわすことができるばあいは、延長のしかたは unique ということでしょうか？

つまり、nakaizu さんが前にお書きになったように、円の弧を延長した場合を考えると、延長した結果が「一つの」代数曲線であらわせるとしたら、それは、その円弧を含む円そのものにならざるを得ない、と。

回答No.2

nakaizu

algebraic curve はおっしゃる通り代数的な式で表される曲線ということですね。
arc はその一部ということでいいですが、細切れになった一部ではなくて、全体が繋がっている一部ということになります。
Lemma の核心の部分ですが、「解析的に延長できるが、延長の仕方は一通りしかない(uniquely)」ということです。
解析的にという意味を詳しく述べるのは大変ですが、この場合は「伸ばした後も全体が代数曲線になるような伸ばし方は一通りしかない」ということと同じだと思ってよいでしょう。(厳密には多少違いますが)
たとえば、円の弧があるとします。この弧を延長する方法はいっぱいありますが、全体が一つの円になるような伸ばし方はひとつしかない ということです。

お礼

直感的にすごく分かりやすい説明をありがとうございます！だいぶんイメージがわいてきました。

確認してよろしいでしょうか。
(1)全体が繋がっている一部、で
・「全体がつながっている」
　　→ 例えば、円はOK、双曲線はNG（２つに分かれているから。

・「一部」
　　→円に対する、弧、など

ということでしょうか。「細切れになった一部ではなくて」というのが少し分からないのですが、円の弧は、細切れでないと考えていいのでしょうか？

(2)後半で説明してくださっている、「解析的に延長」というのが、#1の方が言っている「解析接続」と思っていいのでしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.1

uyama33

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Lemma: Let (x0, x*) be an arc of an algebraic curve S
in a m-dimensional Euclidean space X^m, connecting the two points x0 and x* ∈ X^m (x0 ≠ x*)
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補題： (x0, x*) を、ｍ－次元ユークリッド空間 X^mにおいて、２点x0 と x* （∈ X^m）を結ぶ曲線代数曲線Ｓの弧とする。

Then, this arc (x0, x*) can be
uniquely continued analytically
beyond point x* (and beyond point x0).

この弧 (x0, x*) は点 x* を越えて一意的に解析接続
できる（またx0を越えて解析接続する事もできる).

解析接続については、
下記のURLを参考にしてください。

参考URL：

http://boat.zero.ad.jp/~zbe89326/math17.htm

お礼

これは解析接続と訳すのですね。解析接続のURL、がんばってよんでみます。