d/dxArctan(x)=1/(1+x^2)という事実を使ってArctan(x)とπを級数展開せよ

質問

長くてすいません。下記の[Q8](1),(2),(3)についての質問です。

[Q7]Suppose f(x)=Σ[k=0..∞]a_k(x-c)^k has radius of convergence R>0.For
|x-c|<R,set F(x)=∫[c～x]f(t)dt.Prove that
F(x)=Σ[k=0..∞](a_k/(k+1)),|x-c|<R.
[Q8](1)Use the previous exercise and the fact that d/dxArctan(x)=1/(1+x^2)
to obtain the Taylor series expansion of Arctan x about c=0.
(2)Use part (1) to obtain a series expansion for π.
(3) How large must n be chosen so that the nth partial sum of the series in
part (2) provides an approximation of π correct to four deciaml places?

[問7]f(x)=Σ[k=0..∞]a_k(x-c)^kはR>0の収束半径を持つ。
|x-c|<Rに対して,F(x)=∫[c～x]f(t)dtとする時
,F(x)=Σ[k=0..∞](a_k/(k+1))(x-c)^(k+1) (但し|x^c|<R)となる事を示せ。
[問8](1)c=0でのArctan(x)のテイラー級数展開を得るために前問題とd/dxArctan(x)=1/(1+x^2)という事実を使え。
(2) (1)を使って,πでの級数展開を得よ。
(3) (2)でn項までの和をπと少数第4位まで一致する近似値にさせるにはnはどのくら
い大きく選ばれねばならないか?

(1)の解説は
1/(1+x^2)=1/(1-(-x^2)=Σ[k=0..∞](-1)^kx^(2k),|x|<1.Use the previous
exercise and the fact that Arctan(x)=∫[0～x](1+t^2)^-1dt to find the Taylor
series expansion of Arctan(x) at c=0.
(3)の解説は
Use Theorem
"Consider the series Σ(-1)^(k+1)b_k,where the sequence {b_k} satisfies the
hypothesis of Theorem(Alternating Series Test).
Let s_n=Σ[k=1..n](-1)^(k+1)b_k and s=Σ[k=1..∞](-1)^(k+1)b_k.
Then |s-s_n|≦b_(n+1) for all n∈N"
因みにTheorem(Alternating Series Test)は
"If {b_k} is a sequence of real numbers satisfying
(a) b_1≧b_2≧…≧0 and
(b) lim[k→∞]b_k=0,then Σ[k=1..∞](-1)^(k+1)b_k converges."
となっています。

という問題ですが(1)からしてどのようにすればいいかわかりせん。
なにとぞご教示ください。m(＿ ＿)m

回答No.2

phusike · ベストアンサー

計算は面倒なので追いません。
ご自分でお確かめ下さい。

(3)に関しては、Taylorの定理を使うのが賢いです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
小数第4位まで一致させればよいのですから、
この剰余項の絶対値が、0.5×10^(-4)以内に収まればよい。
これを用いてやりましょう。

なお、(1)に関して、
このような既に分かっている級数を用いて冪級数を導く手法は重要です。
Taylor展開ならまだ計算する気になりますが、
複素解析をやるとTaylor展開を拡張したLaurent展開というのが出てきまして、
こちらはとてもでないがマジメに計算していられません。
このようなときに、既に知っている級数を使って表すというのは、
労力を削る上で極めて重要です。

お礼

有難うございます。
おかげ様で大変助かりました。m(＿ ＿)m

回答No.1

phusike

まずf(x)=1/(1-x)の級数展開を求めましょう。
（これはNeumann級数とよばれ極めて重要な等比級数です）
f(x) = Σf_n(x) とおければ、
1/(1+x^2) = f(-x^2) = Σf_n(-x^2)ですね。
さらに、冪級数は項別積分可能ですから、
Arctan(x) = ∫dx f(-x^2) = Σ∫dx f_n(-x^2) です。

(2)(3)はこれが分かれば難しくはないと思います。
分からなければ再度補足に記入して下さい。

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。

(1)については
1/(1-x)=1+x+x^2+…から1/(1+x^2)=-x^(2n-2)で
Arctan(x)=∫dx/(1+x^2)=Σ[n=1..∞]∫-x^(2n-2)dx=Σ[n=1..∞](-1)^(n-1)x^(2n-1)/(2n-
1)

(2)については
Arctan(1)=π/4なのでπ=4Arctan(x)=4Σ[n=1..∞](-1)^(n-1)/(2n-1)

(3)については
b_n:=1/(2n-1),S_n:=Σ[k=1..n](-1)^(k+1)b_kとおき
π=3.1415926535897932384626433832795…なので
|π-S_n|が0.0000073464102067615373566167204971158以下なら
πとS_nとか少数第5位まで同じ数字になる。
従って1/(2n-1)≦0.0000073464102067615373566167204971158を解くと,
n≧68060.5921…. ∴nは68061以上でなければならない

となったのですがこれでいいのでしょうか?

補足

ご回答大変有難うございます。

> まずf(x)=1/(1-x)の級数展開を求めましょう。

1/(1-x)=1+x+x^2+…ですね。

> （これはNeumann級数とよばれ極めて重要な等比級数です）
> f(x) = Σf_n(x) とおければ、

f(x) = Σf_n(x)ならf_n(x)=x^(n-1)と書けますね。
そして1/(1+x^2)と書けますね。

> 1/(1+x^2) = f(-x^2) = Σf_n(-x^2)ですね。
> さらに、冪級数は項別積分可能ですから、
> Arctan(x) = ∫dx f(-x^2) = Σ∫dx f_n(-x^2) です。

d/dxarctan(x)=1/(1+x^2)よりarctan(x)=∫dx/(1+x^2)
=∫f(-x^2)dx=∫Σ[n=1..∞]f_n(-x^2)dx
=Σ[n=1..∞]∫f_n(-x^2)dx(∵冪級数は項別積分可)
=Σ[n=1..∞]∫-x^(2n-2)dx
=Σ[n=1..∞](-1)^(n-1)x^(2n-1)/(2n-1) (∵c=0)

と求まりました。

> (2)(3)はこれが分かれば難しくはないと思います。

そっそうですか。。
arctan(x)=Σ[n=1..∞](-1)^(n-1)x^(2n-1)/(2n-1)
からπ=Σ[n=1..∞]4(-1)^(n-1)/(2n-1)をどうやって求めればいいのでしょうか?

> 分からなければ再度補足に記入して下さい。

ありがとうございます。
(3)についてはπ=3.1415926535897932384626433832795…ですから
3.1415≦π-Σ[k=1..n]4(-1)^(k-1)/(2k-1)<3.1416を解説に従って解けばいいのですよね。
う゛～わかません。
どのようにしてnの値を求めればいいのでしょうか?