フーリエ級数展開の問題
フーリエ級数展開の問題
cを実数の定数とし、fは周期関数2πの関数で区間[-π,π)において
f(x)=
(c-2)(x+π/2) :-π<=x<0
(2c-3)(x-π/2):0<=x<π
であるとする。この時のフーリエ級数展開
a_(0)/2+Σ[n=1,∞]{a_(n)cos(nx) + b_(n)sin(nx)}
について各問に答えよ
(1)関数fが偶関数になるような定数cの値を求め、その時のフーリエ係数a_(1)の値を求めよ。
切片が同じで、傾きが逆になればいいので、
(c-2)=-(2c-3)と式を立てて
c=5/3
a_(n)=1/π∫[-π,π]f(x)cos(nx) dx
-π<=x<0の時と、0<=x<πの時とを分けて積分
a_(n)=1/π{∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(nx) dx + ∫[0,π](x/3-π/6)cos(nx) dx}
n=1の時を求めればいいだけなのでn=1を代入して
a_(1)=1/π{∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx + ∫[0,π](x/3x-π/6)cos(x) dx}
式の∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx の部分を計算
部分積分で計算し、
∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx=[(-x/3-π/6)sin(x)-cos(x)/3][-π,0]
=-1/3-1/3==-2/3
∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx の部分を同じく計算
∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx=2/3
よって
a_(1)=1/π{-2/3+2/3}=0
となってしまいました。0となり不安です間違っている気がすごくします。これで合っているんでしょうか？
あと、この次の小問(2)で
(2)関数fが奇関数になるような定数cの値を求め、その時のフーリエ係数b_(1)の値を求めよ。
という問題があるのですが、これはcの求め方からして分かりません。
存在しない気すらします。どのように求めればいいんでしょうか？
お礼
大変わかりやすく、かつご丁寧にありがとうございます。 答えがいただけなかったら、さらに５時間以上無駄な計算を行い 答えにたどり着けなかったと思います。 今後はalice 44さんのように困っている人を助けるとこができるように 勉強に励んでいこうと思います。 本当にありがとうございました。