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組み合わせの問題じゃないかと思うんですが…

2004/08/23 23:22

組み合わせの問題じゃないかと思うんですが、数学は遠い過去の記憶でしかないので（笑）、教えてください。 5人組から3人を抜き出して3人組を作りたいんですが、全部で何通りになるでしょうか？その際、誰が1番になって誰が最後になっても構いません。例えば5人にそれぞれA、B、C、D、Eという名前をつけたとして抜き出したのが「ABC」でも「ACB」でも同じものとして見なし、「ACB」をカウントしなくてよいということです。さっき樹形図を描いてこれとこれはかぶってるからなし、などと一生懸命考えた結果、10通りじゃないかなぁと思うんですが全く自信はありません…。こういうのって確か「全部で○個の中から△個を抜き出す」問題だと思うのでCを使うんじゃないかと思って、さっき5C3（見難くてすみません…）を計算してみたら60通りになったんですが、5C3って要するに5C2（＝20通り）じゃなかったっけ？？という気もして、「いや、こういうときはPだ」と、余計にこんがらがっています。 Pで解くと、一応樹形図で考えたときと答えは同じ（5P3＝5×4×3÷3×2×1＝10）になるんですが。高校も一応卒業しており大変恥ずかしいのですが（CとPの計算も逆かもしれません・苦笑）、パソコンでファイルを作るのに必要なので全部で何通りあるのか教えてください。具体的な組み合わせも教えていただけると嬉しいです、よろしくお願いいたします。

easuf
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数学・算数
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arukamun
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2004/08/23 23:40 回答No.3

組み合わせですね。順列nPrと組み合わせnCrの式が逆になっていますね。 nPr = n!/(n-r)! 5P3 = (5*4*3*2*1)/(2*1) = 5*4*3 = 60 nCr = n!/{r!(n-r)!} 5C3 = (5*4*3*2*1)/{(3*2*1)*(2*1)} = (5*4*3)/(3*2*1) = 10 文中の＞5C3って要するに5C2 ここはあってますね。 5C3 = (5*4*3)/(3*2*1) = 10 5C2 = (5*4)/(2*1) = 10 十通り書いて見ますね。 ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE

質問者

お礼 2004/08/23 23:55

回答ありがとうございます。 >順列nPrと組み合わせnCrの式が逆になっていますね。そうなんですよね（笑）。大変恥ずかしいです（苦笑）。さっき10通り出したときはどれがどれと同じなのか訳が分からなくなってしまって、本当にこれでいいのかしら、と思ってました。ありがとうございました。

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risapon
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2004/08/23 23:53 回答No.4

○個から△個をとり出す問題は組み合わせ、つまりＣをつかいます。 ○個から△個を取り出し一列に並べる問題は順列、つまりＰを使います。この問題の場合はＣを使いますよね？まず5人から3人を取り出して一列に並べる通りを考えて見ましょう。そうすると5P3(5×4×3=60通り)です。しかし問題文にもあるように一列に並べる場合では「ＡＢＣ」「ＡＣＢ」のようにだぶりが出てしまいます。なのでだぶり分(だぶる通りは3!)で割らなければいけません。そうすると　5Ｐ3÷3!=5×4×3/3×2×1=10通りになります。今書いた上の式(5P3÷3!)は5Ｃ3と表せます。

質問者

お礼 2004/08/23 23:56

ありがとうございます。参考にさせていただきます。

raccoon_dog65
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2004/08/23 23:33 回答No.2

こんばんは。考え方は合っていると思いますよ。ただし、この場合は　５Ｃ３＝５×４×３÷（３×２×１）　でしょう。順列と組み合わせの問題ですが、５人から３人を選ぶのは「組み合わせですが」、５人から３人を選んだ順番ごとに並ばせるのが「順列」でしょう。グループを作るだけなら選んだ順番は関係ないので、（３×２×１）で割る必要があると思います。