数学の問題で分からないところがあります。

質問

数学の問題で分からないところがあります。

こんにちは。見て下さりありがとうございます。（*^_^*）

積分の問題なのですが、解答に

x+√(x^2+a^2)=t とおく。

√(x^2+a^2)=t-x=(t^2+a^2)/2t またdx/dt=(t^2+a^2)/2t^2

と書いてあります。
私は、まず
√(x^2+a^2)=t-x=(t^2+a^2)/2t
となる理由も分かりません。

その後の微分も良く分かりません。

どなたか、教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

確かに、いきなりこの変形は不親切かな。

下準備として少し計算が必要です。
　　x +√(x^2+a^2) = t
　　√(x^2+a^2) = t-x
両辺二乗して、
　　x^2+a^2 = (t-x)^2
　　x^2+a^2 = t^2-2tx+x^2
両辺からx^2を引いて、
　　a^2 = t^2-2tx
これをxについて解くと
　　2tx = t^2-a^2
　　x = (t^2-a^2)/(2t)

ここから、質問の式変形に戻ります。
　　√(x^2+a^2) = t-x = t-(t^2-a^2)/(2t)
右辺を通分して整理すると、
　　√(x^2+a^2) = (t^2+a^2)/(2t)

また、最初に計算したように
　　x = (t^2-a^2)/(2t)
ですから、商の微分法を思い出して両辺をtで微分すると
　　dx/dt = (2t*2t-2*(t^2-a^2))/((2t)^2)
　　　　　= (t^2+a^2)/(2t^2)
となります。

式変形自体は基本的なものばかりなので、流れさえ分かれば後は落ち着いて計算すれば大丈夫かと思います。

お礼

丁寧に解説して下さり、ありがとうございます。理解することができました。

回答No.2

alice_44

その模範解答は、積分の結果がわかった後で
説明が短くて済むようにデッチ上げたものです。
そうでなきゃ、そんな置換は普通思いつきません。

被積分関数の中に √(x↑2+a↑2) を見たときの
対処法のひとつとして、x = a tanθ と置換する
ことを覚えておくと、応用範囲が広いです。

tan への置換を使って解いてみた後で、
もう一度、その模範解答を読んでみると、
その t が何を意味しているのかが
見えてくるかも知れません。