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定積分と微分法の問題について
定積分を微分するタイプの問題の解答の一部分を添付しています。 定数aの値を求める問題で、左辺の左側は「区間がaからa」になって0になっていますが、その右側の定積分の部分のｘだけ「ｘのまま」なのがなんだかしっくりしません。解答ではその後、定積分のところは定数になるのですが、やっぱり2ｘ＋3 dx だけ2a＋3 da にしなくていい（してはいけない）理由を得意でない人に教える感じで知りたいです。よろしくおねがいします。
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＞定積分の部分のｘだけ「ｘのまま」なのがなんだかしっくりしません ∫<0,1>(2x+3)dx は関数でなく定数なのです。 （この計算をしてみると，2x+3の不定積分 x^2+3x に１を代入した値から０を代入した値を引き算して４となりますね。つまり結果は定数です） 推定ですが一番左に ∫<a,x>f(t)dt のような項があったのですね。この場合は x=a を代入すると∫<a,x>f(t)dt は∫<a,a>f(t)dt=0となり，上端と下端が同じになって定積分の値は0となりますね。しかし ∫<0,1>(2x+3)dx はすでに定数なので，「 x=a を代入する」という操作には「あっしには関わりねえことでござんす」というこのなのです。 （おまけ）∫<0,1>(2x+3)dx=∫<0,1>(2t+3)dt=∫<0,1>(2s+3)ds=∫<0,1>(2v+3)dv=4 とみな同じ定数ですね。
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- maskoto
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補足 ちなみに、dには極めて小さいと言う意味がありす ゆえに、短冊の横幅をdxにすると その短冊は横幅がとても短い、縦長短冊と言う事になります 短冊の上辺(y＝2x+3で現される)は本来曲線ですが、横幅を微小にする事で、短冊はほぼ長方形と見なせるようになり よって 短冊の面積 ＝(2x+3)dx とする事が可能なわけです
お礼
画像編集がよく分からず、またインテグラルの入力（記述）方法も分からなかったので わかりにくい添付画像になりましたが、それでもご回答ありがとうございました。
- maskoto
- ベストアンサー率53% (538/1010)
補足コメントがあってからと思いましたが もう寝るのでヒントになりそうなことだけ投稿しておきます y＝2x+3という関数があるとします この曲線とy軸と、x＝1とx軸で囲まれた図形の面積は以下のように求めます まずは、図形を横幅dxの超細長い短冊に分割する すると、位置xでは短冊の長さが2x+3なので この地点にある短冊の面積＝縦×横 ＝(2x+3)dx です このような短冊の面積を x＝0〜1の範囲にあるものすべて足すと 求めるべき面積となるので 総和を表す記号「∫」を用いて 該当図形の面積 ＝∫(2x+3)dx…積分区間0→1 これが積分の意味です さてここで変数xを定数aで置き換えることをしてみます 少し無理気味かもですが、頑張って解釈すると (2a+3)daは x＝a地点だけにある短冊…①の面積となりそうです これに総和の記号∫を取り付けても ∫(2a+3)daは①一枚だけの短冊の面積の総和と言う事になってしまい、∫(2x+3)dxの時の短冊の面積の様子と異ることが分かるかと思います (ちなみに、定積分∫(2x+3)dxは計算可能なので、x＝a代入の前にこの定積分を計算してしまうというのも一つの作戦のように思います)
お礼
画像編集がよく分からず、またインテグラルの入力（記述）方法も分からなかったので わかりにくい添付画像になりましたが、それでもご回答ありがとうございました。
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