関数の台について

質問

関数の台(support)に関しての質問です。

集合U,Vを開区間として,連続関数ｆの台がUとVの開集合にふくまれているとします。

このとき、ｆ１,ｆ２というそれぞれの台がUとVに含まれている関数が存在して,ｆ＝ｆ１+ｆ２

となることを示せ、という問題です。

言われてみれば内容は分かるのですが,存在を言うときにいかにして証明すればよいか分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#199771 · ベストアンサー

＞あと,この問題が例えば,開集合Oα(αは添え字集合の元)で
＞ｆ＝Σｆαでも同じ論法でできますよね？

αが有限個なら。

でもそれってトリビアルだし考える意味があまりないと思います。
f_αが連続という制約があるなら単位の分解とかにも使えそうですが。

回答No.3

noname#199771

あ・・・連続という条件はないんですね？
だったら#2は余分で、#1の前半がそのまま有効です。

補足

ありがとうございました！！

あと,この問題が例えば,開集合Oα(αは添え字集合の元)で
ｆ＝Σｆαでも同じ論法でできますよね？

回答No.2

noname#199771

１次元なら、U∩Vの中を折れ線でつなげばいいです。
グラフを描いて具体的なf1とf2の形を考えてみてください。
手を動かせば必ずわかります。

回答No.1

noname#199771

「UとVの開集合」というのが何かわかりませんが、
「UとVの和集合」の書き間違いですか？

そうであれば

f1(t)=f(t)(t∈U),0(t∈U^c)
f2(t)=f(t)-f1(t)
とすればいいです。
もちろんf1,f2は連続とは限りません。

カンですけど、質問者さんが問題文を書き写し間違えて
いる気がします。もしそうなら補足にその旨書いてください。
あと、UとかVが実数全体の部分集合なのか、n次元ユーク
リッド空間の部分集合（n>1）なのかあるいは別のものの
ことを言っているのか、その辺りも触れてほしいです。
その返答次第で回答の仕方が変わってくるかもしれません。

補足

回答ありがとうございます。
ご指摘を頂いたところを補足しますと、、、

まず,UとVの和集合の間違いでした。
UとVは実数全体の集合のopen subset です。