今更ですが数学の矛盾についてよく分からないので教えて下さい。

質問

今更ですが数学の矛盾についてよく分からないので教えて下さい。
ちなみに超のつくド素人ですので稚拙な質問を予め詫びておきます。

根本的にですが、1は3で割れませんよね？
また、ルート2というのは無理数で、これまた現実的に存在する数ではないですよね？？

それを便宜的に(?)表しているのが分数や平方根といったものと理解しているのですが、この「表せない数」ともいうべき数を、計算や証明と言った形ではなく、現実世界で我々はどう理解すべきなのですか？

これは0～9までの数字といういうものを使っている限り、または進法という計算システム(?)を使っている限り、永久につきまとう矛盾に感じるのですが・・・・。

是非とも解答が欲しいです。
こんな質問はとっくの昔に誰かが説明しているかもしれませんが・・・m(_ _;m)

よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

＞「割りきれない数」を何故放置し、
＞ 証明や新しい記号を用いて既存の数字で表そうとするのか？

有限小数で表せない数に、イチイチ新しい名前や記号を与えていたのでは、
どれだけ沢山の文字があっても足りません。実数は、無限にありますから。
限られた記号を使いまわして、多くの数を記述できるように、
いろいろ工夫してきた歴史の結果が、貴方の言う「便宜的」な表し方です。
その表し方で表せる数を「代数的数」と言います。
しかし、実数全体の中では、代数的数は小数派で、
まだ表せない数のほうが圧倒的に多いのです。そのような表せない数を
「超越数」と言います。実数の大部分を占める超越数については、
一個一個に名前を付けるくらいしかできることがないので、
おなじみの物には、π とか、e とか、名前が付けてあります。

お礼

なるほど！

代数的数の方がマイノリティーであるとは知りませんでした！
やっぱり無限にある数を表すのには今の数字・進法では役不足と言うことでしょうか？？
そーいったコトの研究とかは進んでいるんですかね？？

今、化学系の研究室にいて、この質問をしたらバカにされました。
くだらないコトだと。。

でも我々科学者の本来の目的はこういうコトを突き詰めることだと思うんです。

ありがとうございます。
大変参考になりました！

回答No.10

alice_44

←No.4 補足

くだらないコトというより、化学系の先輩にとっては「興味の無いコト」、
あるいは、ひょっとして「難しくて解らないコト」だったのかも知れません。
実験科学の人にとっては、数とは、全てが近似値であり、
せいぜい４～５桁の有限小数＋誤差 でしかありません。
代数的数と超越数の区別どころか、無理数すら登場しない世界で
日々何かを考えている人にとっては、構成的な表示の可能不可能など、
「俺には関係ないコト」以外の何モノでもないのでしょう。
彼らにとっては、√2 すら 1.414 で終わってしまうのです。
ピタゴラスが悩まないで済む世界です。

無理数はどんな数だとか、代数的数はどんな数だとか、そういうことを
研究する分野は、代数学ですかね。しかし、超越数の取り扱いは
多くの場合たいへん難しく、簡単そうに見えて判らないことがたくさんあります。
例えば、円周率 π も、自然対数の底 e も、超越数であることは証明されて
いますが、これらの和と積 π+e, πe は、無理数であることは判っても、
代数的か、超越的か、未だ判定されていません。とは言え、π+e と πe の内の
少なくとも一方は超越的である ことだけは簡単に証明できたり…。
この辺の進展は、遅々として、何が簡単で何が難しいのかすら、
あまり理解されていないのです。
ソレを突き詰めたら、数学の新しい分野の開拓者になれるかも知れませんよ。

回答No.9

2ac0uO

> 根本的にですが、1は3で割れませんよね？

整数にならないという意味では、１は１０でも割れません。
１÷３が、０．３３３３３３・・・と言う循環小数となるから割れないと言う意味でしたら、単なる便宜的なものでしかありません。
現在我々が使用している１０進法も、おそらく左右の手の指の合計が１０本と言うのが揺らいだと思います。
他にも日常使用しているものでは、１週間は７進法、１ダース／グロスは１２進法、時間に関しては６０進法等、１０進法以外のものも使用しています。

３進法で表せば、３は１０となります。
従って、１０進法の１÷３は、３進法では１÷１０＝０．１となり、循環小数にはなりません。
逆に、１０進法の１÷１０は、３進法では１÷１０１＝０．００２２００２２・・・と言う循環小数になります。

回答No.8

root139

クロネッカーという19世紀の数学者も「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」と言ってますね。
数学者でも見解が分かれるのでは？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%9D%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC

個人的感覚では、無理数はスッキリ表せないだけで存在している感じは有りますね。1辺1Cmの直角二等辺三角形を書いた時の斜辺の長さは√2Cmの無理数ですし。
虚数とかは現実感無いですが・・・。

回答No.7

one-eyed

数学では何も『証明』する事はできません。
科学哲学というのを御存知ですか。
簡単に言えば科学とは何か、科学的とはどういう事か、または100%信用できる根拠とは何かなどを試行錯誤する学問です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%91%E5%AD%A6%E5%93%B2%E5%AD%A6

回答No.6

R_Earl

もともと数学は真理を探究する学問ではないと思います。
ルールを決め、そのルールに従っていくと
どんな結論が得られるかを考える学問だと思います。

例えば中学では
(-1) × (-1) = (+1)
と教えられますが、これは真理ではないと思います。
誰かが「(-1) × (-1)は(+1)だと決めよう！」というルールを作り、
他の人もそのルールを使うようになっただけだと思います。

もし「(-1) × (-1)は(-1)と決めよう！」というルールを誰かが提案して、
皆に受け入れられていたら、
中学では(-1) × (-1) = (-1)と教えるようになっているかもしれません。

回答No.5

gcqd75ce

人間は実際は、あまり進歩してないんです。

10進数って、何千年も昔の計算方法ですし。

1を3つに分ける。

数学の世界では割り切れない。しかしコレは現実にはない世界。

りんご1つを3人で分ける。とか、現実には存在してます。

ピッタシ割る。。。。なんか、そのへんが、まだ人間の方がコムより賢い気がしますね。

お礼

解答ありがとうございます。

そーなんですよ。
なぜこれだけ科学が進歩したのに、便宜的にしか表せない大昔の数字・計算方法を使い続けるのかが不思議で・・・・。

でもよく考えたらそれは、この科学の進歩がその大昔の数字・計算を使い続けた結果生まれたものだからなんですよね。。。

全てを表せる数字・計算＝この世界の絶対真理

ってことで、そう簡単には分からないですよね。。。
でもこのまま今の数学を使い続けても、いつまで経っても本当の数というか、真理にたどり着けない気がします・・・。

回答No.3

rabbit_cat

まず、数学（だけではなくて自然科学）というのは、現実世界を参考にして作られてはいますが、実際には、あくまで参考に作られているモデルであって、現実世界そのものではありません。
数学は、あくまで数学の世界の中だけで完結しています。

＞根本的にですが、1は3で割れませんよね？
＞また、ルート2というのは無理数で、これまた現実的に存在する数ではないですよね？？

数学の世界では、１÷３は１／３というれっきとした数ですし、
√２もちゃんとした数です。
では、現実の世界に、√２というものが本当に存在するのか、というのは難しいです。
少なくとも、今のところ存在するとしても、今のところおかしなことは起きていないです。そして、この事実こそが数学が現実の世界の理解に有効ということを示しています。
ただ、逆に、現実には√２という数は存在しない、と思っても、それはそれでおかしなことはおきないでしょう。
なにしろ、例えば、√２という長さをぴったり測れる定規は現実には存在しませんから。（別に√２だけではなくて、単純に１という長さをぴったり測れる定規はない）

そういう意味では、現実世界（そもそも現実世界とは何かという問題もありますが）で、１／３や√２という数が存在するのかという質問は、科学というより哲学に関する問題ということになるんでしょう。

お礼

ありがとうございます！
非常に分かりやすいです！

科学より哲学というと、確かに今はそうかもしれません。
現在の科学を根本から否定することになりますから。。

でもやはり、今使っている数字や計算で、この世界の絶対真理が導けるとは思えません！！
私はこの世界の真理が知りたいのです。科学者の卵として。。

いつか哲学を科学にしてみせます！！

ありがとうございました。

回答No.2

goldenleaf

割り切れない数というものは無限にある。
それぞれにあたらしい記号を割り振ったら、無限の記号が必要になる。
そんなことできるわけない。

同様に、
○進法を止める。
すると、存在しうるすべての数に独立した記号を振らなければならない。
そんなことできるわけない。

ということではだめですか。

また、√2は概念としては確かに存在します。ただ、この数を√という記号を使わずには表現できないだけです。逆に言えば、√という記号を使うだけで小数では表現できない概念を簡単に表現できる、ということになりますかね。

概念として存在する物がすべて手に触れることの出来る形で正確に存在しなければならないわけではない、ということはよろしいですよね。

ついでに言うと、どんな数も現実には存在しません。身長170cmの男性が存在するか？
ノーです。正確に170.000000000000000000000000000000000...cmの人はいません。確率を若干無視して断定的な言い方をしていますが、でもそうでしょ?

回答No.1

char2nd

無理数は別に現実に存在しない数値という意味ではなく、分子・分母とも整数である分数の比で表すことの出来ない数、と定義されています。1/3は共に整数の比で表せますから有理数です。分母が１のときが整数です。
　有理数も無理数も実数です。現実に存在する数値です。実数はすべて数直線上にあります。数直線から外れた位置にあるのが虚数です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0

補足

すみません。
質問の仕方がヘタなのでご容赦下さい。

私が知りたいのは、

「割りきれない数」を何故放置し、証明や新しい記号を用いて既存の数字で表そうとするのか？？

ということなのです。
それは

なぜ数字が0～9と決まり続けていることと、進法のシステムをなぜ使い続けるのか？

という質問と同じ意味にはならないですか？？

結局漠然としてますが、解答をお待ちしております。