数学の疑問

質問

√２＋√３は有理数でないことを示せ。ただし、√２、√３、√５のように、平方数でない自然数ｍについて、√ｍが有理数でないことは，証明せずに利用してもよい。

a=√２＋√３とおき、aが有理数であると仮定する。
さて、aの定義よりa^2=(√2+√3)^2＝５＋２√６
√６＝a^2-5/2・・・・(1)
よって、aは有理数でない。
ここで、aが有理数であることは、適当な整数ｍ（≠０）、ｎを用いて、a=n/mと表せることです。
このとき(1)の右辺は、たしかに有理数です。
説明「しかし、a^2-5/2が有理数であることは、このように整数まで引き戻して論証しなくても、有理数どうしの和、差、積、商（ただし、割る数≒
０）は、また有理数になるという性質を考慮するだけで済ますのが一般的です。
なお、有理数＋有理数は有理数ですが無理数＋無理数は無理数になるとは限りません。
これが、本問の問題として意味をもつ理由です。」

証明は理解できるんですが、説明の部分が結局何が言いたいのか理解できません。　結局、筆者は説明の部分で何がいいたいんですか？？？

回答No.4

R_Earl · ベストアンサー

> 有理数の定義は既知です。有理数とは互いに素である自然数を使って分数で表せる数のことですよね。

有理数の定義は「整数a, b(但しb ≠ 0)を使ってa/bで表せる数」です。
aとbが互いに素という条件は必要ありません。
簡単に言ってしまえば、有理数とは(整数)/(整数)の形をしているものの事です。

「互いに素である整数を使って分数で表せる数」というのは
「既約分数」と呼ばれるものの定義です。

> a^2-5/2をn^2-5m^2/2m^2(m,nは互いに素の自然数）に表した理由は、
> a^2-5と２が互いに素であるかわからないから、n^2-5m^2/2m^2で表しているということなのでしょうか？？（でも、n^2-5m^2と
> 2m^2も互いに素かわからないですね。）

なので別に分子と分母が互いに素かどうかを確かめる必要はありません。

> a^2-5/2は明らかに有理数でそんな事はわかってます。
> 分数で書けるでしょうの部分が謎なんです。
> n/mを代入して、分数で表したから何なの？？
> ってことを聞いているんです。

「明らかに有理数」というのは、
(整数)/(整数)の形をしているもののことを指します。

a^2-5/2という数が(整数)/(整数)の形をしているかどうかを考えます。
証明文中に「aを有理数だと仮定する」と書いてあるので、aは整数か分数です。
これを踏まえてa^2-5/2の分子と分母を考えてみます。
(1) 分子a^2 - 5は分数か整数
(2) 分母2は整数
そうするとa^2-5/2は「(分数か整数)/(整数)」という形になります。
これは有理数の定義である「(整数)/(整数)」と合致してませんよね。
この段階ではa^2-5/2は(整数)/(整数)の形をしているか分かりません。
それなのに有理数だと断言してよいのでしょうか？
それはまずいですよね。

だからaにn/mを代入して、(整数)/(整数)の形になるかどうかを
確かめる必要があるんです。
a^2-5/2にa = n/mを代入した形n^2-5m^2/2m^2が
(整数)/(整数)の形をしているかどうかを考えます。
nもmも整数なので
(1) 分子n^2-5m^2は整数
(2) 分母2m^2も整数
となります。
よってn^2-5m^2/2m^2は、(整数)/(整数)という形をしているので、
これは有理数であることが明らかだといえます。

お礼

R_Earlさん本当にありがとうございます。
御蔭で疑問が晴れました。
他にもまた新しい質問をするかもしれませんが、その時はよろしくお願いします

回答No.3

kabaokaba

んーー・・・かなり問題があると思います．
まあ，私自身もそれほどあるとは思わないけど，
文章力が不足すぎなのと，基本がおろそかすぎです．

＞解と係数の関係とは解の公式のことを指してるんですか？？
へ？
「二次方程式の解と係数の関係」って知らない？
もしそうならあまりに基本が足りてません．

>a^2-5/2は明らかに有理数でそんな事はわかってます。
>分数で書けるでしょうの部分が謎なんです。
>n/mを代入して、分数で表したから何なの？？
>ってことを聞いているんです。

へ？まったくわかってない？？
「分数で表したから何なの？？」って・・・
自分で何を書いてるか分かってます？？
・・・
教科書をよく読みなさい．参考書とか以前の問題です．
あなたは「ある数が有理数である」ということの定義を
知ってますか？理解してますか？
「ある数が有理数である」ということは
「その数が分母・分子が整数である分数で表せる」ことを意味します．
だから「分母・分子が整数である分数で表せる」ことを
示せば「有理数である」ことを示したことになるのです．
それを理解せずに
「a^2-5/2は明らかに有理数でそんな事はわかってます。」
なんて断言するのは
「自分は何も分かってない」と主張するのと変わりありません．

お礼

貴方は自分の説明を理解してもらえないから、私に国語能力がないといっているように思えます。
確かに、国語能力が僕には欠けているかもしれもせんが、そういう人に理解できるように説明してあげるのが数学が本当にできる人だと思います。
よって貴方自身がそこまで数学できるのではないのかもしれません。

補足

すいません、分数で表せたから何なのとは、ｍとｎを使って表せたから何なのという意味です。
有理数の定義は既知です。有理数とは互いに素である自然数を使って分数で表せる数のことですよね。
（貴方ほど数学のレベルは高くないですが、一応、参考にはならないかもしれませんが駿台模試で偏差６０、進研模試７４です。）

回答No.2

kabaokaba

ひどいなあ。。。分数の足し算・引き算・掛け算・割り算を
分かってないとしか思えないなあ・・・

＞無理数＋無理数は有理数になるか無理数になるかわからないので、証明する必要があるという部分が皆さんは引っかからないと思いますが、自分は違和感があります。

だって，1+(√2)と1-(√2)は両方とも無理数だけども
足したら「2」で有理数でしょう？
一方，1+(√2)と1-(2√2)は両方とも無理数で
足したら1-(√2)でこれは無理数．
だから「無理数＋無理数」は有理数か無理数かはケースバイケース．

ほかの考え方．
二次方程式の解と係数の関係ってならったでしょう？
x^2-2x-1=0の解をa,b(a>=b)とするとa+b=2でしょ？
一方，解の公式よりa=1+(√2),b=1-(√2)でしょ．
こういうことがあるから
「無理数＋無理数」は有理数か無理数かはケースバイケース．

こういう「一見無関係に見える」事柄が
有機的に関連しているということが見えてないのは
愚直な計算練習とかをさぼってる（さぼってた）としか思えないなあ
＃あとは一連の質問をみてると基本的な国語力が不足してる感じがする
＃ここでいう「国語力」ってのは教科としての「現代国語」の成績
＃じゃなくって，もっと根本的な国語力のこと

>有理数同士の四則演算が有理数であるかわからないものとする
これ証明できないの？
(m/n) + (m'/n') = (mn'+m'n)/nn'
のように四則演算を全部かけば明らかです．
だから「有理数の四則演算の結果は有理数」．
これを使えば
√６＝a^2-5/2
と表せた時点で，もしaが有理数であれば，
a^2はa*aだから有理数．
これから有理数 5/2 を引いた結果も有理数．
だから，
a^2-5/2は有理数であってこれが無理数である(√6)と
一致するのは矛盾であるから
aは無理数であると結論づけられる．

>a^2-5/2をn^2-5m^2/2m^2(m,nは互いに素の自然数）で表せたとすると、
確実に有理数であるとなぜ、いえるんですか？？

有理数であるということは
分母・分子が整数である分数で表せることでしょう？
もうこの式でそのように表せてるでしょう？
整数同士の四則演算の結果が整数であることが分からないのですか？

>意味がないのならわざわざ参考書に説明書いたりしない思います。

参考書は「数学的にはあまり意味がなくても
読者の理解に役立つと判断される場合にはきちんと書く」
ことがよくあります．
そういう意味では「意味がある」．

今回の「参考書の説明」は一切の転記ミスがないのであれば
確かにちょっとややこしい．
証明自体は
＞ここで、aが有理数であることは、適当な整数ｍ（≠０）、ｎを用いて、a=n/mと表せることです。
＞このとき(1)の右辺は、たしかに有理数です。
この文章がなくても問題ない．
なんでこんな文章があるかというと
まさにあなたのような人のための説明なんです．
つまり，
「aを有理数としたときに
a^2-5/2が有理数であることが分からない」
といわれないように，有理数の定義にしたがって
a=n/mとして代入したら実際に
a^2-5/2は分数で書けるでしょう？，やってごらんなさい，
定義に沿ってることを確認しなさい，という「教育的配慮」．
そして，「説明」に書かれていることは，
実際には，こんなm/nの話までもっていくことはなくって
有理数の四則演算結果が有理数であることを使えば
大抵は問題なくとけるよ．
実際やってみたら面倒でしょ．理解できたら
次からはうまくやりましょうねという意味．

ただ・・・
＞なお、有理数＋有理数は有理数ですが無理数＋無理数は無理数になるとは限りません。
＞これが、本問の問題として意味をもつ理由です。

この文章は意味がないというか，おかしい．
これをいうなら，ここでは
「無理数＋無理数が有理数になる」という
例をあげてないとおかしいでしょう．
何も考えなければついうっかり
「無理数＋無理数＝無理数」と間違えてしまいそうな
初学者のために注意を促すというような文章なのに
実際に例にあげているのは「無理数＋無理数＝無理数」の
例をあげてるんだもんなあ．

結局、著者としては
・無理数＋無理数は有理数にも無理数にもなる
・無理数＋無理数が有理数になる例は簡単だからいちいちいわなくてもいいでしょ
・無理数＋無理数が無理数になるかは証明が必要
・上のことの証明は，背理法と有理数の四則演算の性質ですぐわかることが多い
というようなことをいいたいのでしょう．

お礼

国語力がないというより、文章に表現する力がないんです。
有理数同士の四則演算が有理数であるのはわかってます。
二次方程式の解と係数の関係ってならったでしょう？
x^2-2x-1=0の解をa,b(a>=b)とするとa+b=2でしょ？
一方，解の公式よりa=1+(√2),b=1-(√2)でしょ．
確かに、２つの解を足すと、２になるのはわかります。
解と係数の関係とは解の公式のことを指してるんですか？？
僕が聞きたいことはa^2-5/2が有理数であることが分からない」
といわれないように，有理数の定義にしたがって
a=n/mとして代入したら実際に
a^2-5/2は分数で書けるでしょう？，の部分です。
a^2-5/2は明らかに有理数でそんな事はわかってます。
分数で書けるでしょうの部分が謎なんです。
n/mを代入して、分数で表したから何なの？？
ってことを聞いているんです。

補足

回答ありがとうございます。
少しわかりましたが、ここだけ引っかかります。
a^2-5/2をn^2-5m^2/2m^2(m,nは互いに素の自然数）に表した理由は、
a^2-5と２が互いに素であるかわからないから、n^2-5m^2/2m^2で表しているということなのでしょうか？？（でも、n^2-5m^2と
2m^2も互いに素かわからないですね。）
それ以外に、代入する意味がまったく理解できません。

回答No.1

Trick--o--

・有理数同士の四則演算は有理数になるので、いちいち証明する必要はない
・無理数＋無理数は有理数になるか無理数になるかわからないので、証明する必要がある

お礼

すいません。
訂正a^2-5/2とn^2-5m^2/2m^2(m,nは互いに素の自然数）で表せたとすると、
確実に有理数であるとなぜ、いえるんですか？？
　　　　　　　　　　↓
a^2-5/2をn^2-5m^2/2m^2(m,nは互いに素の自然数）で表せたとすると、
確実に有理数であるとなぜ、いえるんですか？？（有理数同士の四則演算が有理数であるかわからないものとする）

補足

無理数＋無理数は有理数になるか無理数になるかわからないので、証明する必要があるという部分が皆さんは引っかからないと思いますが、自分は違和感があります。
質問していると代入に意味はありません。という回答がほとんどなのですが、
意味がないのならわざわざ参考書に説明書いたりしない思います。
a^2-5/2とn^2-5m^2/2m^2(m,nは互いに素の自然数）で表せたとすると、
確実に有理数であるとなぜ、いえるんですか？？