乱数の平均の度数分布が正規分布になるのはなぜ？

質問

自然現象や誤差の度数分布は正規分布になりやすいこと
を数学の言葉で言うと
「乱数の平均の度数分布は正規分布になる」
となりますが、この証明を教えてください。

回答No.3

noname#108554

ここでおっしゃっている乱数とは、

>まず「乱数」とは、私は乱数の数が無限大のとき、そ
>の分布がy軸に平行になるものを前提にしています。

とのコメントから考えて一様乱数を考えているものと思います。
それと、最初から無限個の乱数を考えているのですね。で、

>自然現象や誤差の度数分布は正規分布になりやすい

これは・・・なんでだったかな・・・？
忘れました。少なくとも中心極限定理は
関係していないと思いましたが。

>「乱数の平均の度数分布は正規分布になる」
>と言えると思いますがいかがでしょう？

それだったら、やや文章は不正確ですが
やはり中心極限定理になります。
もっとも、一般の分散が有限な乱数に対しても成り立ちます。

厳密な証明はかなり難しいようですが、
雰囲気だけでもというのであれば、
数学セミナー2002年2月号「確率論の極限定理と不動点」
に出ています。

お礼

有難うございました。
「確率論の極限定理と不動点」
読んでみます。

回答No.2

kony0

わたしも#1さんと同様、「中心極限定理」のことを言おうとされているのかなぁと思いましたが・・・
Google等で「中心極限定理」で検索すれば山のようにヒットすると思いますので、そこから欲しい情報があるか探してみてはいかがでしょうか？

お礼

有難うございました。
でも証明はとても難しいですね。
私は解析学で証明できると思っていました。

回答No.1

noname#108554

>自然現象や誤差の度数分布は正規分布になりやすいこと
>を数学の言葉で言うと
>「乱数の平均の度数分布は正規分布になる」
>となります

なりませんし、

>「乱数の平均の度数分布は正規分布になる」

これも偽です。なので、証明もできません。
「乱数の平均の度数分布は正規分布にいくらでも近付く」
近付くとは何ぞや、は、おいといて、
これなら真です。

おそらく質問者さんの証明したいのはこれですか?
http://www.f7.ems.okayama-u.ac.jp/~t2/19990530aniv50/aniv50.html

参考URL：

http://www.f7.ems.okayama-u.ac.jp/~t2/19990530aniv50/aniv50.html

補足

有難うございます。
すみません統計を習ったことが一度も無いので素人ですが。。。

＞なりませんし、
本当ですか？

まず「乱数」とは、私は乱数の数が無限大のとき、そ
の分布がy軸に平行になるものを前提にしています。

「近付く」とはこういうことですか？

「n個の乱数の平均Rnの分布をグラフGn(x)にしたときどんな小さいcでも任意のxで|S(x)-fn(x)|<cなるnが存在する(S(x)は正規分布の関数)」

これが証明できれば

「乱数の平均の度数分布は正規分布になる」

と言えると思いますがいかがでしょう？