大学幾何学の問題です。

質問

大学幾何学の問題です。　

(1)R^1と(3、10)は同相であるか？

(2)R^1とR^3⊃Ａ=｛(t、2t、t^2)|t∈R｝は同相であるか？

よろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

訂正です。
(1)
(3,10)={t|3<t<10,t∈R}
f:(3,10)→R^1,f(x)=log((x-3)/(10-x))
fは全単射
fは連続
f^{-1}も連続
R^1と(3,10)は同相

(2)
f:R^1→A,f(t)=(t,2t,t^2)
Aの定義よりfは全射
f(t)=f(s)→(t,2t,t^2)=(s,2s,s^2)→t=s→fは単射→fは全単射
s∈R^1,∀ε>0に対してδ=ε/max(4,8|s|+ε)
|t-s|<δ→√((t-s)^2+4(t-s)^2+(t^2-s^2)^2)<ε
(s,2s,s^2)∈A,∀ε>0に対して
√((t-s)^2+4(t-s)^2+(t^2-s^2)^2)<ε→|t-s|<ε
R^1とAは同相

回答No.2

muturajcp

(1)
R^1は無限集合で(3,10)有限集合だから
f:(3,10)→R^1　写像とすると
R^1-f(3,10)は無限だからR^1-f(3,10)≠φ
fは全射でない
R^1と(3,10)は同相でない

(2)
f:R^1→A,f(t)=(t,2t,t^2)
Aの定義よりfは全射
f(t)=f(s)→(t,2t,t^2)=(s,2s,s^2)→t=s→fは単射→fは全単射
s∈R^1,∀ε>0に対してδ=ε/max(4,8|s|+ε)
|t-s|<δ→√((t-s)^2+4(t-s)^2+(t^2-s^2)^2)<ε
(s,2s,s^2)∈A,∀ε>0に対して
√((t-s)^2+4(t-s)^2+(t^2-s^2)^2)<ε→|t-s|<ε
R^1とAは同相

回答No.1

OKXavier

「同相」の定義を良く理解することです。
解答にはなりませんが、ヒントのみ。大学生なら自分で解決を！。