大学幾何学の位相多様体についての問題です。

質問

大学幾何学の位相多様体についての問題です。　

Ｓ^3=｛(X1、X2、X3、X4)∈Ｒ^4|?(i=1～4)(ｘi)^2=1｝は位相多様体ですか？　

証明もお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

S^3={(x1,x2,x3,x4)∈R^4|Σ(i=1～4)(xi)^2=1}は位相多様体です
V_1={(x1,x2,x3,x4)∈S^3|x4>-1}
V_2={(x1,x2,x3,x4)∈S^3|x4<1}
とすると V_1,V_2　は　S^3　の開集合で
S^3=V_1∪V_2
f_1:V_1→R^3,f_1(x1,x2,x3,x4)=(x1/(1+x4),x2/(1+x4),x3/(1+x4))
f_2:V_2→R^3,f_2(x1,x2,x3,x4)=(x1/(1-x4),x2/(1-x4),x3/(1-x4))
とすると、f_1,f_2　は同相写像になる

回答No.1

ojisan7

３次元の球面ですね。これは明らかに位相多様体です。
証明はご自分で考えることです。人によって証明方法は多少異なるでしょうね。
さて、証明をどうするか、ですが、私なら以下のように考えます。参考にしてみて下さい。
さてさて、位相をどのように取りましょうか。
Ｓ^3=｛(X1、X2、X3、X4)∈Ｒ^4|Σ(i=1～4)(ｘi)^2=1｝
を四次元ユークリッド空間Ｒ^4に埋め込まれた部分集合であると見なしましょう。
そして、Ｓ^3の位相としてＲ^4の相対位相を入れます。Ｒ^4はHausdorff空間ですから、Ｓ^3もHausdorff空間になります。Ｓ^3の開基はp(p1,p2,p3,p4)をＳ^3上の点としたとき、
{Ｓ^3}∩{Ｏ(p)}とすればいいでしょうね。ただし、Ｏ(p)は点ｐを中心とするＲ^4の開球です。
つぎに、{Ｓ^3}∩{Ｏ(p)}を三次元ユークリッド空間Ｒ^3へ射影すればよいのです。後は、
{Ｓ^3}∩{Ｏ(p)}と射影された像が同相であることを示せばよいことになります。でも、これは簡単ですね。

以上、参考になりましたら。。。