大学幾何学の問題です。

質問

大学幾何学の問題です。　

Ｋ:simplicial　complex　Ｋ':Ｋのbarycentric　subdivision　

の時、　
meshＫ≧meshＫ'　
を示すてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

K:単体的複体
K':Kの重心細分

σ∈K
σ=[v_i]_{i=0～p}
{e_i∈R^{p+1},e_i=(e_{i,j})_{j=0～p},e_{i,i}=1,i≠j→e_{i,j}=0}_{i=0～p}
f:σ→R^{p+1},{f(v_i)=e_i}_{i=0～p}
x∈σ,x=Σ_{i=0～p}λ_iv_i,{0≦λ_i≦1_{i=0～p},Σ_{i=0～p}λ_i=1
→f(x)=Σ_{i=0～p}λ_ie_i
y∈R^{p+1},y=Σ_{i=0～p}y_ie_iのとき|y|=Σ_{i=0～p}|y_i|と定義する
τをSdσ=(σの重心細分)の単体とする
τの頂点u,wがあってτの直径δ(τ)≦ρ(u,w)=(uとwの距離)
u=Σ_{i=0～p}μ_iv_i,w=Σ_{i=0～p}λ_iv_i
,{0≦μ_i≦1_{i=0～p},Σ_{i=0～p}μ_i=1
,{0≦λ_i≦1_{i=0～p},Σ_{i=0～p}λ_i=1
ρ(u,w)=Σ_{i=0～p}|λ_i-μ_i|=|f(w)-f(u)|
=|Σ_{j=0～p}λ_ie_i-f(u)|
=|Σ_{j=0～p}λ_ie_i-(Σ_{j=0～p}λ_i)f(u)|
=|Σ_{j=0～p}λ_i(e_i-f(u))|
=Σ_{j=0～p}λ_i|e_i-f(u)|
≦max_{i=0～p}|e_i-f(u)|=max_{i=0～p}ρ(v_i,u)
∃k ( 0≦k≦p,ρ(u,w)≦ρ(u,v_k) )
uはσのある辺単体[v_{l_i}]_{i=0～m}の重心だから
u=(1/(m+1))Σ_{i=0～m}v_{l_i}
ρ(u,v_k)=|f(u)-f(v_k)|
=|(1/(m+1))Σ_{i=0～m}e_{l_i}-e_k|
=(1/(m+1))|Σ_{i=0～m}(e_{l_i}-e_k)|
≦(1/(m+1))Σ_{i=0～m}|e_{l_i}-e_k|
≦(1/(m+1))Σ_{i=0～m}|e_{l_i}-e_k|
≦max_{i=0～m}ρ(v_{l_i},v_k)
∃j ( 0≦j≦p,δ(τ)≦ρ(v_j,v_k) )
δ(τ)≦ρ(v_j,v_k)≦δ(σ)
meshK=max_{σ∈K}δ(σ)≧max_{τ∈K'}δ(τ)=meshK'