電磁気学におけるテイラー展開

質問

このような問題があります
軸対称の静磁界の磁束密度の半径方向成分Brと軸方向成分Bzとの間には対称軸の近傍においてBr=(-1/2)(∂Bz/∂z)となることを示せ
解答には∇・B=0を円柱座標系を用いて表すと系の対称性により∂/∂Ψ=0となるらしいのですがこれはなぜでしょうか
あとその次は
1/r・∂/∂r・(r・Br)＋∂Bz/∂z =0
これからBrは
Br=1/r∫{0→r} r' ∂Bz dr'/∂z ・・・・・（１）となり、その次にBzをr=0のまわりでテイラー展開すると
Bz(r,z)=Bz(0,z)＋∂/∂r・Bz(r,z)|{r=0} ・r＋・・・・・
rが十分小さい場合にはBz(r,z)=Bz(0,z)なる近似が成り立つから、
（１）はBr=-r/2・∂/∂z ・Bz(0,z)
となるというのが解答に書いてあるんですがまず僕が知っているテイラー展開とは違い、上のような展開になる意味が全く分かりません
どなたか説明してくれませんか・・・
お願いします

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

>∂/∂Ψ=0となるらしいのですがこれはなぜでしょうか

Ψ→φだと思いますが，「軸対称」というのは方位角φによってBrおよびBzが変わることがないということですね？つまり，
∂Bz/∂φ= 0
となります。

>僕が知っているテイラー展開とは違い、

「対称軸の近傍」とありますから，r=0まわりのテイラー展開（すなわちマクローリン展開）をします。
一般にxの関数f(x)の，x=0まわりのマクローリン展開は，
f(x) = f(0) + f ' (0)・x …
となります。
Bz(r,z)のzを固定して，r=0まわりに展開します。つまり，ここでBz(r,z)はrの関数と考えてよいのです。すると，
Bz(r,z)=Bz(0,z)＋∂/∂r・Bz(r,z)|{r=0} ・r＋…
となることは理解されるのではないでしょうか？

お礼

わかりやすかったです
解決しましたありがとうございます