数学の証明問題です。教えてください。

質問

数学の証明問題です。教えてください。
この問題について、途中まではわかったのですが、答えがなく歯が立ちません。
詳しい式を教えて下さい。

問題
f(k)=(1+1/k^2)^kとする。任意の正の係数kについて、
f(k)<1+2/k であることを示しなさい。

解答（途中まで）
g(k)=（1+2/k）-f(k)とする。
f(k)を２項定理で分解すると、
g(k)=1/k-{kC2×k^(-4)+kC3×k^(-6)+…kCk×k^(-2k)}となる。

（ここからがわかりません。。下が考え方のようですが）
p(k)として、{kC2×k^(-4)+kC3×k^(-6)+…kCk×k^(-2k)}より大きい等比数列を考える？
そして、任意のkについて、g(k)=1/k-p(k)>0ということを示せれば、
(1+2/k)-f(k)>0となり、f(k)<1+2/kを示すことができる？

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回答No.4

noname#199771

#1=#2です。

微分しない方法です。

kCr=k!/(r!(k-r)!)≦(k^r)/(r!)
なので、

f(k)=(1+1/(k^2))^k
=Σ[r=0→k](kCr)1/(k^(2r))
≦Σ[r=0→k]((k^r)/(r!))1/(k^(2r))
≦Σ[r=0→k]1/((r!)(k^r))
=1+(1/k)+Σ[r=2→k]1/((r!)(k^r))

r≧2のとき
1/((r!)(k^(r-1)))≦1/(2^r)
なので、

f(k)<1+(1/k)+(1/k)（1/(2^2)+1/(2^3)+・・・）
=1+(1/k)+(1/k)*(1/2)
<1+(2/k)

回答No.3

Tacosan

あれ? ひょっとして
f(k)^k < 3
がいえる?

回答No.2

noname#199771

#1ですが最終行を書き損じました。
すみませんが、訂正して差し替えお願いします。
-----------------------------------------------
kCr=k!/(r!(k-r)!)≦(k^r)/(r!)
なので、

f(k)=(1+1/(k^2))^k
=Σ[r=0→k](kCr)1/(k^(2r))
≦Σ[r=0→k]((k^r)/(r!))1/(k^(2r))
≦Σ[r=0→k]1/((r!)(k^r))
≦Σ[r=0→∞]1/((r!)(k^r))
=e^(1/k)

となります。0<x<1に対してg(x)=1+2x-e^x
により関数gを定義すると、gは微分可能で
g'(x)=2-e^xであるから、x=log2でgは極大、
0<x≦log2でgは単調増加、
log2≦x<1でgは単調減少。
ゆえに
g(x)>0(0<x<1)
がいえます。

0<1/k<1なので、f(k)≦e^(1/k)<1+2/kです。

回答No.1

noname#199771

他に解き方があるかもしれませんが、
以下の方法で示せました。

kCr=k!/(r!(k-r)!)≦(k^r)/(r!)
なので、

f(k)=(1+1/(k^2))^k
=Σ[r=0→k](kCr)1/(k^(2r))
≦Σ[r=0→k]((k^r)/(r!))1/(k^(2r))
≦Σ[r=0→k]1/((r!)(k^r))
≦Σ[r=0→∞]1/((r!)(k^r))
=e^(1/k)

となります。0<x<1に対してg(x)=1+2x-e^x
により関数gを定義すると、gは微分可能で
g'(x)=2-e^xであるから、x=log2でgは極大、
0<x≦log2でgは単調増加、
log2≦x<1でgは単調減少。
ゆえに
g(x)>0(0<x<1)
がいえます。

0<1/k<1なので、f(k)=g(1/k)>0です。

補足

ありがとうございます！
微分を使わない方法では何かありませんでしょうか？