(a^x)’=a^xloga の証明

質問

今、いろいろな微分の公式を覚えているのですが、なかなか覚えられません。そこで自分で証明しながら覚えているのですが、一つどうしたら証明ができるのかわかりません。それは
(a^x)’=a^xloga
です。
どうしてaのｘ乗の微分」がこうなるのでしょうか？答えをkとおいて、両辺を積分して、k=の形に直して・・・としてみたのですが、どうもうまくいきません。合成関数を使うのかしら？と思いながらよくわかっていないので、できませんでした。

どなたかこの式の証明方法を教えていただけませんか？どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

y=a^x　とおき、両辺の自然対数をとると
log y=x log a
両辺を x で微分して
y'/y=log a
両辺に　y をかけて
y'=y log a
ｙを代入して
(a^x)’=(a^x)log a

これでいいですね。

お礼

info22さま、早速御回答いただいありがとうございました。以上三名の御回答を読ませていただいて、私に一番すんなりきたのは、info22さまの解法でした。さまざまな方法で証明できるようがんばります。ありがとうございました。

回答No.4

shibainumodoki

以下、底が a の対数を logx , 底が e の自然対数をln と書きます。
まず y=a^x とおきます。
y=a^x ⇔ log y =x
今、左辺は　log y = (ln y)/(log a) （底の変換）なので
(ln y)/(log a)=x ⇔ ln y = x(log a)　よって y=e^(x(log a))
この両辺を x で微分して y'=(log a) e^(x(log a))=(log a) y
y=a^x なので　(a^x)' = (log a) a^x

ついでに、(e^x)'=(ln e) e^x = e^x (∵ln e =1) と覚えておけば、(a^x)'も覚えやすいのではないでしょうか？

お礼

shibainumodokiさま、ご回答ありがとうございました。とてもややこしいにもかかわらずご丁寧に説明していただいありがとうございました。おかげさまで理解することができました。ありがとうございました。

回答No.2

itaba_banana

(e^x)'=e^x　と、合成関数の微分法はご存知でしょうか？
それらを知っていれば話は簡単です。
まず、a=e^loga　です。これは当たり前ですね。
よって、a^x=(e^loga)^x
=e^(xloga)　 となります。
これを合成関数の微分法を用いて微分すると、
{e^(xloga)}'=e^(xloga)*loga
=a^xloga
となります。

お礼

itaba_bananaさま、早速御回答いただきありがとうございました。教えていただいたとおりにやってみるとできました！ただ

＞まず、a=e^loga　です。これは当たり前ですね。
これはこうなるのはわかるのですが、微分するためにはこの形にしないと、というのが思い浮かびませんでした。さらなる練習問題の取り組みに励みたいと思います。ありがとうございました。

回答No.1

BLUEPIXY

e^xを微分するとe^x
ですよね
この時のｘがなんらかの式Ｘだとすると
X'e^X
ですよね。
それを踏まえて
a^xをe^?
の形に変形すると
e^(xloga)
になりますから
(xloga)'e^(xloga)
(loga)a^x
となるかと思います

お礼

BLUEPIXYさま、早速ご回答をいただいてありがとうございました。おっしゃるとおりにやってみたらできました！

ただ
＞a^xをe^?
＞の形に変形すると
とありましたが、私はまずその発想ができませんでした。やはり変形には目的がありますが、私にはそれがいまいちよみきれていないと思います。やはり練習問題を重ねるしかないのですね。ありがとうございました。