コイントスの問題

質問

１０回のコイン投げを行ったとき、表が少なくとも５回続いて出る確率を求めるという問題
なのですが、よくわかりません。どうかよろしくお願いします。

自分で考えた解法では
Sum[iからi+4番目が表となる確率,{i,1,6}]-Sum[iからi+5番目が表となる確率,{i,1,5}]
=6*2^5/2^10-5*2^4/2^10
=7/2^6
となりましたが解答が無いので正しいかどうかわかりません。

回答No.4

alice_44

質問への回答は、「確かに、それで上手くいく」ですが？
上手くいく理由も、No.2 に書いておきました。

あくまで余談ですが、
私の解法は、No.3 さんと同じです。
「コインを n 回投げたとき初めて m 連表になる確率を求めよ」
という問題は有名ですよね。 m ≧ 4 だと、解けませんが。

求める確率を q(n),
n 回目までに m 連表が起こらない確率を r(n) とすると、
　　1 - r(n) = Σ[k=1…n] q(k),
　　q(n) = r(n-m-1)・(1-a)・a^m　　(ただし a = 1/2)
から q(n) を消去して r(n) の漸化式を求めると
　　r(n-1) - r(n) = C r(n-m-1)　　(ただし C = (1-a)・a^m)
となります。
m+2 項間漸化式ですから、特性方程式として m+1 次方程式を解く
必要があり。厳密解が書けるのは、m+1 ≦ 4 の場合だけです。

r(n) が求まれば、q(n) = r(n-1) - r(n) だし、
質問の問題は、m = 5 のとき 1 - r(10) を求める問題です。

回答No.3

nag0720

問題を拡張して、
「ｎ回のコイン投げを行ったとき、表が少なくとも５回続いて出る確率p(n)は？」
としてみましょう。

ｋ回目で初めて表が５回続いて出る確率をq(k)とすると、
問題の確率p(n)は、
p(n)=Σ[k=1・・・n]q(k)
となります。

q(1)=q(2)=q(3)=q(4)=0
q(5)=1/2^5
までは簡単ですね。
k=6は、１回目は裏、２～６回目は表のときなので、
q(6)=1/2^6
k=7は、１回目は裏表どっちでもＯＫ、２回目は裏、３～７回目は表のときなので、
q(7)=1/2^6
同様の考え方で、
q(6)=q(7)=q(8)=q(9)=q(10)=1/2^6
なので、
p(10)=1/2^5+5*1/2^6=7/2^6
となります。

ここからは余談ですが、

q(11)からは少し複雑になって、
５回目までは表が５回続いていなくて、６回目は裏、７～１１回目は表のときなので、
q(11)=(1-q(5))/2^6
よって、
p(11)=1/2^5+5*1/2^6+(1-1/2^5)/2^6=255/2^11
となります。

なお、q(k)を漸化式で表すと、
q(k)=(1-q(5)-q(6)-・・・・-q(k-6))/2^6　　(k≧11)
となっています。

回答No.2

alice_44

面白い解法ですね。
確かに、それで上手くいくようです。
どうやって思いついたんですか？

表が n 回以上の連を含む出目は、
Sum[iからi+4番目が～ の中に n-4 回づつ
Sum[iからi+5番目が～ の中に n-5 回づつ
重複して勘定されて、差し引き１回分づつ
になるんですね。

No.1 さんの言うとおり、
10 回中 5 回表だから上手くいきましたが、
全試行のなかに目的の連が２個以上できる
…つまり、連の長さが全試行の半分未満
の場合には数え違いが起こります。

お礼

回答ありがとうございます。
nag0720さんへのお礼で述べたとおりの次第でして^^;
包除の原理？を使おうという方針の元で適当に式を
弄っていたらなんか出てきたっ、という感じですね。
全くのでたらめなので自分でも解釈が出来かねております。
でも連が１つしか現れないという制約のもとでは投げる回数を
増やしたり、連の大きさを変えても一応合うんですよね～
なんでか、ようわかれへんのやけど。
alice_44さんの解き方をご教示頂ければ幸いです。

回答No.1

nag0720

答えは合ってますが、解法はちょっと疑問ですね。

１０回のコイン投げではなくて、
「１１回のコイン投げを行ったとき、表が少なくとも５回続いて出る確率は？」
という問題だったらどういう答えになるんでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
連が１つしか現れないという仮定のもとですので、
「１１回のコイン投げを行ったとき、表が少なくとも５回続いて出る確率は？」という問題では数え上げしか方法が浮かびません。
というか実は数え上げて答えを出してから式をでっち上げたのでして…orz
nag0720さんはどうやって答えを導かれたんでしょうか？
ご教示頂ければ幸いです。