因数分解を教えて下さい

質問

x^2-2y^2+xy+kx+2y+4がx,yについての２つの1次式の積に分解されるとき、Kの値を求めよ。
*問題文の意味もよく分かりません。説明も添えて教えて頂けると大変助かります。　どうぞよろしくお願い致します。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

x^2-2y^2+xy+kx+2y+4=(ax+by+c)(dx+ey+f)
と置き、これがx,yについての恒等式となるように係数{a,b,c,d,e,f,k}の組を求める問題です。係数を比較して{a,b,c,d,e,f,k}の連立方程式を立てて解けば良いでしょう。
未知数が7個で係数の方程式が6個しかないので自由度１である。
簡単の為、a,b,c,d,e,f,gが全て整数として解いてみる。
つまり、a=1として整数解を求めると
(1){a=1,b=-1,c=-1,d=1,e=2,f=-4,k=-5},
(2){a=1,b=2,c=2,d=1,e=-1,f=2,k=4}
が得られる。ただし,{a,b,c}と[d,e,f]が入れ替わったものは因数分解が同じになるので除外している。

(1)の場合 k=-5
このとき　与式=x^2 -2y^2+xy-5x+2y+4=(x-y-1)*(x+2y-4)

(2)の場合 k=4
このとき　与式=x^2 -2y^2+xy+4x+2y+4=(x-y+2)*(x+2y+2)

以上から k=4, -5　が得られます。

(1)の場合の因数分解はk=-5

お礼

ありがとうございました！。

回答No.5

info22_

#4です。

A#4の最後の行は削除して下さい（単なる消し忘れです）。
失礼しました。

回答No.3

Mr_Holland

１次式の積に分解されることについての説明は＃２さんがなされている通りです。
　（より具体的には　因数分解された　答えを見るとわかりやすいと思います。）

　ですので、ここでは具体的に求めていきたいと思います。

　与えられた式をxについて降べきの順に並べて整理しますと、次のようになります。

（与式）
=x^2+(y+k)x-2y^2+2y+4
=x^2+(y+k)x-2(y-2)(y+1)

　ここで、xについての定数項が -2(y-2)(y+1) と因数分解されましたが、これをうまく２つに分けて　足してｘの係数 y+k と等しくなるようにします。　そうすると、与式が因数分解できて　１次式の積　に分解することができます。
　ここで使うのは　因数分解の基本的な式　(x+A)(x-B)=x^2+(A-B)-AB です。
　つまり、掛けて -2(y-2)(y+1) となり、足して y+k となるような　A と B　を見つけることです。

　さて、ここで xの係数 y+k のyの係数が1となっていることに注意すると、-2(y-2)(y+1) の"-2"は　"+2"と"-1"に分解できることが分かります。
　そうすると、考えられる組み合わせは　次の２通りになります。

　1)　+2(y-2) と -(y+1)
　2)　+2(y+1) と -(y-2)

　上記のそれぞれで和を求めてみて　それが y+k と等しくなれば　2つの1次式の積に分解できるようになります。

　1) +2(y-2)+{-(y+1)}=y-5 =y+k　　∴　k=-5
　2) +2(y+1)+{-(y-2)}=y+4 =y+k　　∴　k=4

　従って、k=-5,4 のとき与式は2つの1次式の積に分解でき、その積は次のように表せます。

　k=-5 のとき　{x+2(y-2)}{x-(y+1)} =(x+2y-4)(x-y-1)
　k=4 のとき　{x+2(y+1)}{x-(y-2)} =(x+2y+2)(x-y+2)

　この因数分解された式が　「2つの1次式の積に分解された」形です。

お礼

お礼が遅くなりました、ありがとうございました。

回答No.2

Kules

まあ確かに分かりにくい問い方ですが、頑張ってこのぐらいは読解できるようになっていた方がいいでしょう。
・「次数」というものの考え方はよいですね？（単項式の時と多項式の時それぞれ）

２つの１次式の積になるというのは
（１次式）×（１次式）
になるということです。
（１次式）×（１次式）＝２次式
ですよね？問題文に書かれた式も２次式です。
とりあえず最初の１次式をA,後の１次式をBとします。
AとBに、どんなものが入るのか考えていきます。
ただ、少なくともｃとかｄとかの文字が入ってくることはありません
（ひょっとしたら入ってて、展開した時に偶然消えるのかも知れませんが、そんなメンドクサイことは考えません）
まず、x^2がいますがAにもBにもx^2は入れません（A,Bは１次式ですから）
にも関わらずA×Bからx^2が出てくるということは、AとBに１つずつxが入っているということですね？

同じようにyもAとBに１つずつ入っています。
その他には文字はいませんので、定数項が入っているでしょう。
ただ、入っているとはいえ
A=x+y+1、B=x+y+1だとx^2はできますが-2y^2はできません（係数があいません）
それぞれどんな係数がつくのか考えてみます。

まず、
A=px+qy+r、B=sx+ty+u
という状態を考えます（p,q,r,s,t,uは文字で置いていますが、何らかの数字が入ると思って下さい)
そこから、
A×Bをすると
psx^2+qty^2+ru+(pt+qs)xy+(pu+sr)x+(qu+rt)y+ru
となります。
これが
x^2-2y^2+xy+kx+2y+4
になると言っているので、各係数が等しいんだろうなあ…ということで
ps=1、qt=-2、…のようにp,q,r,s,t,uの式を立てることができます。

一見解けなさそうですが、どれか１つに適当に値を入れて（p=1、とか）やるだけで解けたりもします。

そんな感じで解けるのにいちいち文字を置かなければならないのか？そんなことはありません。
事実このぐらいの問題なら暗算でも解けるでしょうね。
ただわからないのであれば連立方程式を一生懸命解くのも一興だと思います。

参考になれば幸いです。

お礼

お礼が遅くなりました、ありがとうございました。

回答No.1

spring135

x^2-2y^2+xy+kx+2y+4のx^2-2y^2+xyを因数分解すると
(x-y)(x+2y)です。
従って
x^2-2y^2+xy+kx+2y+4=(x-y+a)(x+2y+b)　　　(1)
と置きます。(1)を展開して左右比較すればでてきますが
a=2,b=2
a=4,b=1
a=1,b=4
及び
a=-2,b=-2
a=-4,b=-1
a=-1,b=-4
の可能性があるので、試してみると楽しいでしょう。
a,bにマイナスがつく方は多分ないでしょう。

というわけで答えは
a=2,b=2
つまり
x^2-2y^2+xy+kx+2y+4=(x-y+2)(x+2y+2)
この時
ｋ＝4

お礼

お礼が遅くなりました。ありがとうございました。