xyz=1のとき,

質問

xyz=1のとき,
x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2>=1
を証明せよ。

ｚを消去したあとの式は複雑であるのと計算の進め方がわからない。
左辺の式の形を崩さないで考えていくのか。
考えのとっかかりが見えないので、アドバイスお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

与えられた式はx,y,zについての対称式（x,y,zのいずれか２つを入れ替えても式の値が変わらないもの）になっていますので、文字を消去せずに、基本対称式(x+y+z,xy+yz+zx,xyz）で考えた方が良いでしょう。
　その際、与えられた不等式をそのまま通分すると面倒な項が出てきますので、次のように変数を変換しておきます。
　（このときの基本対称式は、X+Y+Z,XY+YZ+ZX,XYZになります。）

　　X=x-1, Y=y-1, Z=z-1　　・・・・（１）

　この変数変換を使って、与えられた式を書き換えます。

　　xyz=1　⇔(X+1)(Y+1)(Z+1)=1　∴　X+Y+Z=-XYZ-(XY+YZ+ZX)　　・・・・・（２）

　　x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2
=(X+1)^2/X^2+(Y+1)^2/Y^2+(Z+1)^2/Z^2
=1+2/X+1/X^2+1+2/Y+1/Y^2+1+2/Z+1/Z^2
=3+2(1/X+1/Y+1/Z)+(1/X^2+1/Y^2+1/Z^2)
=3+2(XY+YZ+ZX)/XYZ+(X^2Y^2+Y^2Z^2+Z^2Z^2)/(XYZ)^2
=3+2(XY+YZ+ZX)/XYZ+{(XY+YZ+ZX)^2-2XYZ(X+Y+Z)}/(XYZ)^2
=3+2(XY+YZ+ZX)/XYZ+{2(XYZ)^2+2XYZ(XY+YZ+ZX)+(XY+YZ+ZX)^2}/(XYZ)^2　　←式（2）を代入
=3+2(XY+YZ+ZX)/XYZ+2+2(XY+YZ+ZX)/XYZ+{(XY+YZ+ZX)/XYZ}^2
=5+4(XY+YZ+ZX)/XYZ+{(XY+YZ+ZX)/XYZ}^2
=t^2+4t+5　　←　t=(XY+YZ+ZX)/XYZとおく。
=(t+2)^2+1
≧１　（等号成立はt=-2　つまり XY+YZ+ZX=-2XYZのとき）

　ちなみに、X,Y,Zは解と係数の関係から次の3次方程式の解になります。
　　u^3-ku^2-2ku-k=0　（ただし、k=XYZ)
　　（∵　X+Y+Z=XYZ=k, XY+YZ+ZX=-2k)

　この3次方程式は必ずしも3実解を得るものではありませんので、等号成立はx,y,zのいずれか2つは複素数の場合があります。

お礼

みごとな解答にためいきがでてきます。
この解答なしでは、この問題を理解することはできなかったと思います。

=(X+1)^2/X^2+(Y+1)^2/Y^2+(Z+1)^2/Z^2　
=1+2/X+1/X^2+1+2/Y+1/Y^2+1+2/Z+1/Z^2
=3+2(1/X+1/Y+1/Z)+(1/X^2+1/Y^2+1/Z^2)
この３行の変形は、そのあとの
5+4(XY+YZ+ZX)/XYZ+{(XY+YZ+ZX)/XYZ}^2
まで見通しての変形なのでしょうか。
この種の問題は、このような解法をするのがある意味当然なのでしょうか
時間が許せば一言アドバイスをお願いします。

回答No.5

muturajcp

xyz=1
→
(x(y-1)(z-1))^2+(y(x-1)(z-1))^2+(z(y-1)(x-1))^2-((x-1)(y-1)(z-1))^2
=(xyz-xy-xz+x)^2+(xyz-xy-yz+y)^2+(xyz-zy-xz+z)^2-(xyz-1-xy-xz-yz+x+y+z)^2
=(1+x-xy-xz)^2+(1+y-xy-yz)^2+(1+z-zy-xz)^2-(x+y+z-xy-xz-yz)^2
=1+(xy)^2+(xz)^2+x^2+4x-2x^2y-2x^2z-2xy-2xz
+1+(xy)^2+(yz)^2+y^2+4y-2y^2x-2y^2z-2xy-2yz
+1+(zy)^2+(xz)^2+z^2+4z-2z^2y-2z^2x-2zy-2xz
+6-(xy)^2-(xz)^2-(yz)^2-x^2-y^2-z^2-2x-2y-2z
+2x^2y+2x^2z+2xy^2+2y^2z+2xz^2+2yz^2-2xy-2xz-2yz
=9+(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2x+2y+2z-6xy-6yz-6zx
=(xy+yz+zx-3)^2≧0
→
(x(y-1)(z-1))^2+(y(x-1)(z-1))^2+(z(y-1)(x-1))^2≧((x-1)(y-1)(z-1))^2
→
x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1

お礼

9+(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2x+2y+2z-6xy-6yz-6zx
この式をながめて
(xy+yz+zx-3)^2
は、見通しのセンスがよくないとできないと思いました。
私はその前で、挫折してしまいました。
貴重な時間を回答に割いてもらいありがとうございました。

回答No.4

htms42

＞この種の問題は、このような解法をするのがある意味当然なのでしょうか

この問題では「ｘ、ｙ、ｚについて対称である」という性質を保ったままで考えるというのが原則でしょう。それ以外はわかる範囲でやればいいです。
そのままやってもできるでしょう。
でもややこしくなりますね。

ややこしくなる原因は　ｘ－１、ｙ－１、ｚ－１　という分母の形です。分数の和という表現が出てくると通分が必要です。分母が少し変化するだけで通分の結果のややこしさは大きく変わります。それに対して条件式は　ｘｙｚ＝１というものすごく簡単な形になっています。
「分母が簡単になるように変形すれば、・・・」というのが思い浮かびます。
その分、条件式に跳ね返りがありますが元が簡単ですから全体としては簡単になるのではないかということです。Ｘ＝ｘ－１，Ｙ＝ｙ－１，Ｚ＝ｚ－１　と置くというのは分母を簡単にしようという発想から出てきていると考えていいでしょう。

どういう変形をするかは試行錯誤です。

違った変形をやってみます。
Ｘ＝１／ｘ、Ｙ＝１／ｙ、Ｚ＝１／ｚとします。
１／(１－Ｘ)^2　＋１／(１－Ｙ)^2＋１／(１－Ｚ)^2≧１
になります。
条件式は　ＸＹＺ＝１　と同じですから　元々の問題の中の分子のｘ^2、ｙ^2、ｚ^2　がない場合でも成り立つのです。少し簡単な式になりました。

だとするとＡ＝Ｘ－１、Ｂ＝Ｙ－１，Ｃ＝Ｚ－１　と置けば
１／Ａ^2＋１／Ｂ^2＋１／Ｃ^2　≧１
(Ａ＋１)(Ｂ＋１)(Ｃ＋１)＝１になります。

＃１でやられているのより少し楽ですね。

どうせここまで変形してきたのであればもう一つ先に進めて、・・・という発想も出てきます。
ａ＝１／Ａ、ｂ＝１／Ｂｃ＝１／Ｃ　と置くと
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2　≧１
(ａ＋１)(ｂ＋１)(ｃ＋１)＝ａｂｃ
になります。

これは＃３で書かれているものと同じです。
最初からａ＝ｘ／(ｘ－１)、ｂ＝ｙ／（ｙ－１）、ｃ＝ｚ／（ｚ－１）と置くのです。

お礼

なぜ、そのような、置き換えをしたかの過程がわかり、
ある意味このような置き換えが必然であるようにも思えてきます。
大変参考になる回答でした。ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

横から蛇足：
距離とか、幾何学的直勘に持ち込まなくても、
単に、式変形の見通しを得る目的で、
No.2 の k,l,m を導入してもよいように思う。
すると、質問は、
条件 (kl + lm + mk) + (k + l + m) + 1 = 0 の下に
k^2 + l^2 + m^2 ≧ 1 を示す問題へと翻訳され、
実質的に No.1 相当の変形が、非常にアッサリ導かれる。

お礼

条件 (kl + lm + mk) + (k + l + m) + 1 = 0 の下に
k^2 + l^2 + m^2 ≧ 1を示す。
数学では考えやすい形に言い換えるというのが、大切なのだと言うことが
改めて実感させられました。
ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　丁寧なお礼をありがとうございます。

＞この３行の変形は、そのあとの
＞5+4(XY+YZ+ZX)/XYZ+{(XY+YZ+ZX)/XYZ}^2
＞まで見通しての変形なのでしょうか。

　正直なところ、そこまで見通していませんでした。
　最初は文字がうまいこと消えてくれないかなと期待して始めたのですが、結果的に平方完成に結びついたというところです。

＞この種の問題は、このような解法をするのがある意味当然なのでしょうか。

　そんなことはないと思います。
　他にもっと良い解法があるのではないかと思っています。
　ただその場合でも、与えられた式は対称式ですので、基本対称式を利用したほうが恐らく計算が楽になるのではないかと思います。

　他に考えられる解法としては、変数をX,Y,Zに変換した後、与えられた不等式の両辺に(XYZ)^2を掛けて、（左辺）-（右辺）が正であることを示しても良いかと思います。
　それが駄目なら他の方法（x/(x-1)=k, y/(y-1)=l, z/(z-1)=mとしたとき与えられた不等式はklm空間上での半径１の球の外側領域を表しているので、空間図形や極座標に置き換えられないか、など）を考えたことと思います。

お礼

(XYZ)^2を掛けて、（左辺）-（右辺）が正であること...
これも大変そうです。
基本対称式を崩さないで式変形することをこれから少し心がけて
問題の解法にあたりたいと思います。
ありがとうございました。