指数 ｘ、ｙ、ｚ3文字の値

質問

「x^(xyz)＝y^2、y^(xyz+1)＝z^3、z^(xyz+2)＝x^4を満たす正数ｘ、ｙ、ｚの値を求めよ。」

この問題に取り組んでいます。3文字もあるので文字を消去したいと思って、3式の辺々をかけたり、対数をとったりしてみたのですが変形がうまくいかなくて消去できないです。
直感でｘ＝ｙ＝ｚ＝１の時に3式を満たすのはわかるのですが、ほかにもあるかもしれないですし、論理的ではないので・・・
何かアドバイスやヒント的なものでかまわないので回答よろしくお願いします

回答No.4

freedom560 · ベストアンサー

すみません、間違えました。

No.3で書いたとおり、

{（xyz+2）・（xyz+1）・xyz-24}logy＝0

が出てきて、これを因数分解することにより、

(xyz-2){(xyz)^2+5xyz+12}logy=0

なので、x>0,y>0,z>0より
xyz=2 または logy=0
です。

xyz=2のとき、
logx=logy=logz になるので、
(x,y,z)=(２の３乗根,２の３乗根,２の３乗根)

logy=0
のとき
x>0,y>0,z>0より
logx=0,logz=0がでてくるので、
(x,y,z)=(1,1,1)

の２つが答えです。

回答No.6

take008

(1)(2)より z^6=(y^2)^(xyz+1)=x^(xyz(xyz+1))
これと(3)より x^24=(z^6)^(xyz+2)=x^(xyz(xyx+1)(xyz+2))
ゆえに，x=1 または xyz(xyz+1)(xyz+2)=24
以後，他の方々と同様。
という解き方もあります。

お礼

４人の方々回答ありがとうございました。
xyz(xyz+1)(xyz+2)=24
のときに連続する整数を考えるというのは初めてだったのですがとてもよく理解できました

回答No.5

mister_moonlight

x＞0、y＞0、z＞0から、x^(xyz)＝y^2、y^(xyz+1)＝z^3、z^(xyz+2)＝x^4　の３式の常用対数をとります。
同時に、簡単のためにxyz＝kと置き換えておきます。
但し、k＞0です。

k(log x)＝2(log y)‥‥(1)、(k+1)(log y)＝3(log z)‥‥(2)、(k+2)((log z)＝4(log x)‥‥(3)。
そこで、(1)*(2)*(3)を作ります。
(k)(k+1)(k+2){log x*log y*log z}＝24{log x*log y*log z}となります。

1.log x*log y*log z＝0の時は、x＝y＝z＝1。
2.k(k+1)(k+2)＝24の時は、(k-2)(k＾2+5k+12)＝0となります。
ところが、k＾2+5k+12＝(k+5/2)＾2+23/4＞0より、k-2＝0。
このとき、x＝y＝z＝(3)√2。

回答No.3

freedom560

ほぼNo.1さんの答えで正解ですが、

logz=（xyz+1）logy/3
を代入した際、

{（xyz+2）・（xyz+1）・xyz-24}logy＝0

となるので、logy=0 の時を考慮して、質問者さんが考えた解である

（x,y,z）＝（1,1,1）

も解として出てきます。

回答No.2

donald_duck

最終的な答えとしては
（x,y,z）＝（1,1,2）
（x,y,z）＝（1,2,1）
（x,y,z）＝（2,1,1）
の3個が答えではないでしょうか。

回答No.1

donald_duck

まずは、全てlogに直します。そうすると、
xyzlogx＝2logy　・・・(1)
（xyz+1）logy＝3logz　　・・・(2)
（xyz+2）logz＝4logx　　・・・(3)
となります。そして
(3)のlogxを(1)に代入して、その次に(2)のlogzを代入します。
そうして整理しますと、
（xyz+2）・（xyz+1）・xyz＝24
問う言う式になります。
そしてxyz+2、xyz+1、xyzは3個並んだ数なので、3個かけて24になるのは、4*3*2しかありません。
ので、xyz=2となるのが条件ではないでしょうか？
もちろん、logを用いたのでｘ、ｙ、ｚ全て正も条件ですね。