ハーン・バナッハの定理の証明 （疑問:線形汎関数の拡張部分)

質問

全然わからないので、ヒントでもよいので
教えていただけると助かります。

※本に書いてある通りに書きますので、
文章の間違いなどの指摘は自分ではわかりません。
ごめんなさい。

「Ｂ空間Ｅの部分空間Ｆ上で定義された線形汎関数f1は、
そのノルムをあげることなくE上で定義された線形汎関数fに
拡張することができる。」

これを解くにあたり、

「部分空間F1で定義されている線形汎関数f1に対して
F1に属さないベクトルaを1つとって
aとF1の張る部分空間F2を作った時
f1をノルムを上げることなくF2上の線形汎関数に拡張できる」

ということをまず証明すると書かれているのですが、
この解き方について

「F2の元yはaとF1の元の一次和
すなわち　y=λa+x　(x∈F1)　の形で表示されるので
f2(y)=λf2(a)+f1(x)
とf1を単に拡張してf2(a)に勝手な価を与えればよいが
これはノルムの制限が守れない」

とあります。

ここで、y=λa+xという一次和で表されるところまではわかりますが、
なぜ
「f2(y)=λf2(a)+f1(x)」
とかけるのかがわかりません。　
f2という関数がわかっていないのに、そのf2を使ってf2(y)を表すという所が疑問です。
(λf2(a)の部分）

宜しくお願い致します。

回答No.1

rabbit_cat

＞ f2(y)=λf2(a)+f1(x)
ちょっと書き方がまずいというか端折ってますね。

丁寧に書けば、まず
f2(a) = f2a
と定義する。ただし、f2a は任意の価。
これをつかって、任意の y=λa+x ∈F2 に対して
f2(y) = λ*f2a + f1(x)
と定義する。
という２段階になってます。
と

お礼

補足、ありがとうございます。