Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ

質問

[問]Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ。
[解]
(i) p>0の時,
1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0
よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より
Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
のタイプの級数をディリクレ級数といいます。冪級数の収束半径のようなものがあり、pの実部がσより大きいと収束し、pの実部がσより小さいと発散するような実数σが存在します。pの実部がσのときは収束することもあれば発散することもあります。
この問題の場合σが負または0であること以上のことはわかりません。a_nによってσは異ります。

お礼

ご説明誠に有難うございます。

a_n:=1/n^(-p+1)と採ると
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]n^-p/n^(-p+1)
=Σ[n=1..∞]1/nで発散

一方,
a_n=1/n^(-p+2)と採ると
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]1/n^2で収束。

よって収束発散は決定できない。

従って,収束するpの範囲はp≧0なのですね。