数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

質問

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
（小問で、1/a[n]>2nは解決済み。）

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

回答No.3

OKXavier · ベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと？小問の利用？

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。

お礼

与式＜=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)と押さえられるのに気づきませんでした。
ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

数列 a[n] は有限値に収束するとします. このとき, 最初の n項の平均からなる数列 b[n] = (a[1] + ... + a[n])/n は a[n] と同じ値に収束します. ということで, これを証明しに行ってしまってもいい.
あるいは, a[n] < 1/(2n) が分かっているんだから a[1] + ... + a[n] を「定積分を使って上から抑える」ことも可能.

お礼

数列 a[n] は有限値に収束するとします。・・・・ a[n] と同じ値に収束します。
記憶しておきたいと思います。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

特に工夫することもなく, 素直に ε-δ でいいと思う.
ちなみに極限値は推測できてますか?

お礼

ありがとうございます。
残念ながら、予想付いていません。