非斉次の微分方程式の問題です。

質問

非斉次の微分方程式の問題です。
y'+y=cost
y(0)=0
この問題が斉次ならわかるのですが、
非斉次の場合の解き方がわかりません。
どなたか解説してくださいませんか？

回答No.3

noname#185706 · ベストアンサー

まず斉次方程式
y' + y = 0
の解を求めて
y = A e^(-t)。
係数 A を A(t) と見なして
y' = (A' - A) e^(-t)。
元の非斉次方程式に代入して
A' e^(-t) = cos(t)。
A = ∫cos(t) e^t dt
　= sin(t) e^t - ∫sin(t) e^t dt
　= sin(t) e^t - [-cos(t) e^t - ∫(-cos(t)) e^t dt]
　= {sin(t) + cos(t)} e^t - A + c
A = [{sin(t) + cos(t)} e^t + c] / 2
y = {sin(t) + cos(t) + c e^(-t)} / 2
y(0) = (1 + c) / 2
　　　= 0
∴　c = -1
y(t) = {sin(t) + cos(t) - e^(-t)} / 2

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
まだ習いたてでよくわかりませんでしたが、
ようやく理解できました^^

回答No.6

muturajcp

y'+y=0 の解は　y=ce^{-t}

D=d/dt とする

y'+y=(D+1)y=cost=(e^{it}+e^{-it})/2

(D+1)e^{it}=(i+1)e^{it}
e^{it}=(D+1)e^{it}/(i+1)
(D+1)e^{-it}=(1-i)e^{-it}
e^{-it}=(D+1)e^{-it}/(1-i)

(D+1)y=cost=(e^{it}+e^{-it})/2=(D+1)(e^{it}/(i+1)+e^{-it}/(1-i))/2
特殊解は
y=(e^{it}/(i+1)+e^{-it}/(1-i))/2=(cost+sint)/2
一般解は
y=(cost+sint)/2+ce^{-t}
y(0)=1/2+c=0
c=-1/2
y=(cost+sint-e^{-t})/2

お礼

詳しい回答ありがとうございます
いろいろな解き方があるのですね^^

回答No.5

Knotopolog

＃４は，間違えでした．すいません．cost を　const と読み違えました．削除して下さい．

お礼

回答ありがとうございます。
削除方法がわからないのでこのままにしておきます^^;
読み間違いでも詳しい解説ありがとうございます。

回答No.4

Knotopolog

y'＋y＝cost は，１階線形常微分方程式です．しかも，
求積分法で解ける方程式です．定数 cost を仮に，Ａと置きます．

y'＋y＝A

y を移行します．

y'＝A－y

この式は，x を独立変数と考えて，

dy/dx＝A－y

と書けます．これを解くと

dy＝(A－y)dx

dy/(A－y)＝dx

∫(1/(A－y))dy＝∫dx＋C,　　　　　C は積分定数です．

－log(A－y)＝x＋C

log(A－y)＝－x－C

A－y＝exp(－x－C)

y＝A－exp(－x－C)

この式が，一般解です．

y(0)＝0　を計算すると，

0＝A－exp(0－C)

0＝A－exp(0－C)

0＝A－exp(0)・exp(－C)

0＝A－exp(－C)

exp(－C)＝A

－C＝log(A)
C＝－log(A)

です．つまり，積分定数　C　が，－log(A)　です．
したがって，

y＝A－exp(－x－C)

y＝A－exp(－x＋log(A))

y＝A－exp(－x)・exp(log(A))

y＝A－exp(－x)・A

y＝A－A・exp(－x)

y＝A(1－exp(－x))

この式が答えです．y＝A(1－exp(－x))　を微分すると，

y'＝A・exp(－x)

与えられた式 y'＝A－y　に入れると

A・exp(－x)＝A－y

A・exp(－x)＝A－A(1－exp(－x))

A・exp(－x)＝A－A＋A・exp(－x))

A・exp(－x)＝＋A・exp(－x))

A・exp(－x)＝A・exp(－x))

となるので，y＝A(1－exp(－x))　は正しい答えです．

exp(－x)　は，e＾(－x)　のことです．

回答No.2

alice_44

(dy/dx)(exp t) + (y)(exp t) = (cos t)(exp t)
を積分すれば、いんじゃね？

右辺の積分は、
∫(cos t)(exp t)dt と ∫(cos t)(exp t)dt を
部分積分を使って、連立一次方程式へ持ち込む
のが定石。

お礼

回答ありがとうございます。
早速解いてみます。

回答No.1

orcus0930

ラプラス展開を使ってしまうのが手っ取り早い。
無理やり斉次に変形するなら、
d/dt (sin(t)+cos(t)) = -sin(t)+cos(t)
となるので、
z = y + 1/2 (sin(t) + cos(t))
として、zについての微分方程式を考えるとか、
いろいろ方法はありそう

お礼

まだラプラス変換は習っていないんです^^;
いろいろ試してみます。