２階線形常微分方程式（非斉次）の解き方を教えてほしい

質問

２階線形微分方程式の非斉次の一般解までは導けるのですが、特殊解の導き方がわかりません。出来るだけ詳しく(実際に例などを使用して)教えていただけると光栄です。ちなみに斉次の解き方は理解済みです。よろしくお願いします。

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

質問No.589440
(http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bibun0.htm)
をご覧になられてはいかがでしょうか。この程度のことは分かっているということであればすみません。

回答No.3

keyguy

例がほしいというのを見落としていました。
例を示します。
ｙ”＋ｙ’／ｘ－ｙ／ｘ＾２＝１を満たすｙを求めます。
ｆ≡ｘとしｇ≡１／ｘとすると
ｙ＝ｆとｙ＝ｇはｙ”＋ｙ’／ｘ－ｙ／ｘ＾２＝０の解。

Ｎｏ．２より
ａ’＝－ｒｇ／（ｆｇ’－ｆ’ｇ）＝１／２
ｂ’＝ｒｆ／（ｆｇ’－ｆ’ｇ）＝－ｘ＾２／２
よって
ａ＝ｘ／２
ｂ＝－ｘ＾３／６
よって
ｚ＝ａｆ＋ｂｇ＝ｘ＾２／３
すなわち
ｙ＝ｘ＾２／３が
ｙ”＋ｙ’／ｘ－ｙ／ｘ＾２＝１を満たす。

代入してみると見事に成立します。

回答No.2

keyguy

ｐをｘの関数としｑをｘの関数としｒをｘの関数とする。
ｙ”＋ｐｙ’＋ｑｙ＝ｒをみたすｙを示す。
ｙ”＋ｐｙ’＋ｑｙ＝０の一般解をα，βを定数としてαｆ＋βｇとする。
当然
ｆ”＋ｐｆ’＋ｑｆ＝０・・・（１）
ｇ”＋ｐｇ’＋ｑｇ＝０・・・（２）
である。
ａ’ｆ＋ｂ’ｇ＝０・・・（３）
ａ’ｆ’＋ｂ’ｇ’＝ｒ・・・（４）
を満たすｘの関数ａとｘの関数ｂすなわち
ａ’＝－ｒｇ／（ｆｇ’－ｆ’ｇ）
ｂ’＝ｒｆ／（ｆｇ’－ｆ’ｇ）
であるａとｂについて
ｚ＝ａｆ＋ｂｇはｚ”＋ｐｚ’＋ｑｚ＝ｒを満たす。

根拠：
（３）と（４）により
ｚ＝ａｆ＋ｂｇを微分して
ｚ’＝ａｆ’＋ｂｇ’が得られｚ’を微分して
ｚ”＝ａｆ”＋ｂｇ”＋ｒが得られる。
これと（１）と（２）により
ｚ”＋ｐｚ’＋ｑｚ＝ｒが分かる。

なお
ａ（ｘ）＝∫（０～ｘ）ａ’（ｔ）ｄｔ
ｂ（ｘ）＝∫（０～ｘ）ｂ’（ｔ）ｄｔ
でａとｂを求めればよい。