原始関数の問題です

質問

自分の解き方で間違ってないか、ご指南おねがいします。

問：次の関数の原始関数を求めよ。
(1) f(x)=(3x+1)^5

∫(3x+1)^5 dxより、
3x+1=tとおくとdt=3dx。
∫t^5 dx=∫t^5・(1/3)dt
f'(x)=5・3・(3x+1)^4 +C (Cは積分定数)

(2) g(x)=1/(x(x^2+1))
g'=(-3x^2-1)/(x^3+x)^2 +C (Cは積分定数)
間違っているなら、計算途中のヒントをいただければ
ありがたいです。

回答No.4

fef · ベストアンサー

計算用紙を用意してください．

まず，原始函数を求めたい函数を書きます:
　f(x) = (3 x + 1)^5.
書けたら，右肩の 5 という数字を○で囲って，そこに注目します．
微分して 5 乗が出てくるということは，微分する前は何乗だったのでしょう．
微分して 1 小さくなって 5 ということは，もとは 6 だったはずですね．
そこで，とりあえず，
(3 x + 1)^6
と書きましょう．
ついでに，6 を○で囲って，先ほどの○から矢印を引き，
　(5) ---> (6)
などとしておきましょう．
あとで見やすくするためです．

さて，(3 x + 1)^6 を微分して，f(x)にどのくらい近づいたか見てみましょう．
先ほど書いた (3 x + 1)^6 から続けて
　(3 x + 1)^6 --- 微分 ---> 18 (3 x + 1)^5 = 18 f(x)
と新たに書き，最後の 18 に波線を引いてください．
ここで，18 が x を含まない式であることに注意．
定数倍は微分の内外に自由に出入りできましたね．

したがって，
　F(x) = (1/18) (3 x + 1)^6
とおけば，
F(x) の微分が f(x) になる，
つまり，F(x) は f(x) の原始函数となるわけです．
上の F(x) の式も書いて，1/18 に波線です．
先ほど 18 に引いた波線から今回の波線に矢印を引いておきましょう．

最後に検算の意味も込めて，
F(x) を微分して f(x) になることを確認しておきます．

確認できたら，いま書いた計算をよく見直して，
この問題の感覚をつかんでください．

本当は，論理的に理解するのが一番なんですけどね・・・．

お礼

ものすごい丁寧な解説、ありがとうございます。
周りに頼る人もなく、教科書とにらめっこで勉強していましたので
親切に教えていただき、涙がでるほどうれしいです。
正しい計算プロセスや考え方がよくわかりました。
(2)の問題も、がんばって今日中に正しい答えを導けるよう頑張りますので、
もう少しご指導よろしくお願いします。

回答No.3

orcus0930

あってません。
No2の方へのお礼でも間違ってます。

微分して元の関数に戻るのを確認してますか?
微分してみたら違ってるのがわかると思いますよ？

部分分数分解も間違ってます。

不定積分は、微分して元に戻る関数を「見つける」感覚が強いと思いますよ。

今回の積分では必要ないはずだが、
∫dx/(1+x^2)はlog|1+x^2|ではない
∫dx/(1+x^2) = arctan(x)です。

お礼

重ね重ね、ご指導ありがとうございます。
確かに、元に戻りませんでした。
何度も何度もすいませんでした。
(2)の問題の正解が導けるよう、もう少し頑張ってみます。

補足

(2)の問題ですが
1/(x(x^2+1) = 1/x - x/(x^2+1) = 1/x - (1/2)*2x/(x^2+1)
= 1/x - (1/2)*(x^2+1)'/(x^2+1)より、
G(x)=log|x| - (1/2)log|x^2+1|

これで正解でしょうか？ ご指導お願いします。
すみませんが今から家を出なくてはいけませんので、返信は夕方になると思います。

回答No.2

fef

(1)の答案の途中までは，不器用ながらも許容できる範囲内ですが・・・，
最後で，それまでを完全に無にすることをしていますね．

函数 f(x) の原始函数 F(x) とは
F'(x) = f(x)
を満たす函数のことです．
つまり，微分して f(x) になる函数を言います．
f(x) を微分して得られる f'(x) は導函数と言い，原始函数とは別物です．
F(x) --微分--> f(x) --微分--> f'(x)

函数 f(x) の原始函数は？と問われたら，
何を微分すれば f(x) になるかを考えましょう．

(2)の原始函数を求めるには，普通，部分分数展開を用います．
因数分解された形で分母が書かれている理由を考えましょう．

お礼

丁寧な解説、ありがとうございます。
おかげで自分が覚え違いをしていた箇所がよくわかりました。
大変ありがとうございました。
早速、計算をし直してみました。

(1)の答えは、↓でいいでしょうか？
　F'(x)=15(3x+1)^4

また(2)の答えは、
　1/x(x+1) = 1/x - 1/(x+1)の部分展開より、
　1/x(x^2+1) = 1/x - 1/(x^2+1) = log|x|-log|x^2+1|
であってますでしょうか？

回答No.1

arrysthmia

間違っています。

関数 f(x) の原始関数とは、不定積分 ∫f(x)dx のことです。
微分して得られるのは、導関数です。
貴方のは、「積分定数」を足してしまっているので、
導関数でもありませんが…

計算のヒント：　微分しないで、積分しましょう。

お礼

ご指摘ありがとうございます。導関数と原始関数をごっちゃにしていたようです。