δ関数(デルタ関数)を数学の専門家が嫌がるのは何故?

質問

α(x)=x+[x]([ ]はガウス記号)
∫[1..3]e^xdα(x)=∫[1..3]e^xd(x+[x])
=∫[1..3]e^xdx+∫[1..3]e^xd[x](∵Riemann-Stieltjesの性質)
=e^3-e^1+∫[1..3]e^xd(I(x-1)+I(x-2)+I(x-3))(但し,I(x-t)は単位ステップ関数I(x-t):=1(x≧tの時),0(x<tの時))
=e^3-e^1+∫[1..3]e^x(δ(x-1)+δ(x-2)+δ(x-3))dx
=e^3-e^1+∫[1..3]e^xδ(x-1)dx+∫[1..3]e^xδ(x-2)dx+∫[1..3]e^xδ(x-3)dx
=e^3-e^1+e+e^2+e^3(∵δ関数の性質∫[a..b]f(x)δ(x-t)dx=f(t)(但しa<t≦b))
=2e^3+e^2

となろうかと思います。
この問題で数学の専門家はδ関数(δ(0)=∞,δ(x)=0(但しx≠0),∫[-∞,+∞]δ(x)dx=1)
を使うのを嫌がると小耳に挟んだのですがそれは何故なのでしょうか?

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

はっきりいえばδ関数は数学では関数ではないからです。
0以外で値が0であれば、0での値が何であろうと積分すれば0になります。
つまり
δ(0)=∞,δ(x)=0(但しx≠0),∫[-∞,+∞]δ(x)dx=1
をδ関数の定義にはできません。これは便宜上のもので数学的に正確なモノではないのです。
数学ではδ関数は distribution(シュワルツの超関数ともいう) として定義されていて、distribution としてあつかって計算していれば、誰も文句を言いません。
distribution の定義をここで正確に述べるのは無理ですが、あなたが
δ関数の性質∫[a..b]f(x)δ(x-t)dx=f(t)
と書かれていたものの方が、δ関数の定義(積分ではなく distribution として解釈する必要があるが)になるわけです。

お礼

有難うございました。
おかげ様で謎が解けました。