a>1/eのとき、lim[x->+0]x^alogx=0 を証明せよ。

質問

a>1/eのとき、lim[x->+0]x^alogx=0 を証明せよ。

x^alogxをはさみうちして、０を示すのだろうということは予想できる。
x->+0より、x>0であるから、x^a>0,logx<0よって、x^alogx<0.
あとは、□<x^alogx<0 の左辺の□の部分を何にできるかであるが、見当が
つきません。どうやって、□をもとめたらよいか、よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

y = -a log x で置換すると、
lim[x→+0] (x~a) log x = lim[y→+∞] (-y/a) / exp y.

exp y を、exp y ＞ 1 + y + (1/2)y~2
と評価すれば、ハサミウチができる。

お礼

e^yが表れればなんとかなりそうな気がしますが、
y = -a log xと置換するのはむずかしい。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

z = log x で置換すると、
lim[x→+∞] (x~a) / log x = lim[z→+∞] (exp az) / z.

exp y ＞ 1 + y + (1/2)y~2
に y = az を代入すれば、
補足質問の極限が示せます。

お礼

やっぱり、ここでもexp y ＞ 1 + y + (1/2)y~2
に持ち込むのですね。
ありがとうございました。

回答No.2

univ-kyoto

lim[x→+∞](x^a)/logx=+∞・・・(1)

x=1/tとおいて、
lim[x→+0](x^a)logx=lim[t→+∞](-logt)/t^a=-lim[t→+∞]1/(t^a/logt)ここで(1)より
-lim[t→+∞]1/(t^a/logt)＝０
よってlim[x→+0](x^a)logx＝０これでどうでしょうか？挟み撃ちは使ってませんが。。。

補足

回答ありがとうございます。
lim[x→+∞](x^a)/logx=+∞・・・(1)
となる理由を示してもらえれば、いいと思うのですか・・・
（因みにロピタルは不使用とします）