lim[x→2]x^3 = 8をε-δで証明する

質問

いま「解析入門」（田島一郎著）ε-δ法の勉強中なのですが、その本に載っている方法とは少し違った方法で
lim[x→2]x^3 = 8
を証明してみました。どこかまずいところがあるでしょうか？

　　∀ε>0,∃δ>0 s.t. 0 < |x-2| <δ⇒ |x^3-8|<ε…… (ⅰ)
を証明すればよい。
　εを 0 <ε< 8 で固定しても一般性は失われないから、8-ε> 0 であることを考慮すると
　　|x^3-8| <ε⇔ -ε< x^3-8 <ε
　　　　　　　 ⇔ 8-ε< x^3 < 8+ε
　　　　　　　 ⇔ (8-ε)^(1/3) < x < (8+ε)^(1/3)
　一方
　　|x-2| <δ⇔ -δ< x-2 < δ
　　　　　　 ⇔ 2-δ< x < 2+δ (ただし、x≠2)
であるから
　　2-δ< x < 2+δ ⇒(8-ε)^(1/3) < x < (8+ε)^(1/3)…… (ⅱ)
を満たすδを探せばよい。
　　2-δ = (8-ε)^(1/3) ⇔δ = 2-(8-ε)^(1/3)
　　2+δ = (8+ε)^(1/3) ⇔δ = (8+ε)^(1/3)-2
　したがって
　　δ = min( 2-(8-ε)^(1/3), (8+ε)^(1/3)-2 )
なるδは(ⅱ)を満たすので(ⅰ)は証明された。
　　∴lim[x→2]x^3 = 8

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

うーん、「まずい」訳ではないのだけど、多分学習している順番とか、証明するべき命題の順序等を考えると、なんというか「順番が逆」というか、「この命題を証明するのに前提としている知識（命題）が強力過ぎる」んですよね。

あと、本来この命題は順序体であれば成立する、例えば有理数体でも成立しますが、質問者さんの証明法だと、実数体を含む、順序体であって代数的閉体であるものなら成立しますが、例えば有理数体だとこの証明法では使えない。

どういう事かというと、先ず
8-ε< x^3 < 8+ε ⇔ (8-ε)^(1/3) < x < (8+ε)^(1/3)
と変形してますが、この段階で2つ前提をしている。つまり、今考えている順序体をKとして、

1) 任意の a∈ K に対し、b^3 = a なる bが必ず一意に存在する
2) 1)の前提の下で、f(x) = x^(1/3)でf(x)を定義すれば、fは狭義単調増加。つまり、f: K→Kは、『順序を保存する』（という言い方をする）。

という2つの事を前提としている。

この内、2)もきちんと証明が必要。（ちなみにきちんと証明できますか？）
また、1)に関しては、多分正に「実数の連続性」とかを今学習していると思いますが、つまりは実数体が持つ性質を元に証明する必要がある。学習の順序を考えると、要はこの命題で使うべき前提としては『高等過ぎる』のです。
又、1)は実数体では通用しますが、有理数体では通用しない（ご存知の通り、例えばb^3 = 2 を満たす有理数bは存在しない）。一方、この命題（つまりlim[x→2]x^3 = 8）自体は有理数体を含む、一般の順序体で成立する。この意味でも、この命題で3乗根をつかうやり方は、望ましくないのです。

だから証明としては間違ってないんだけど、証明に使っている前提が要は「強過ぎる」。多分、見ている本では、δの値として、εと整数との「加減乗除」（とmin, maxとか）しか使ってないはず。

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございます。
私は工学畑の人間で、いわゆる厳密な微分積分学とは無縁でした。
　学生時代だった大昔、教科書に載っていた微分（全微分）の定義が、導関数の定義などに比べ腑に落ちないところがあったので、脳の老化防止を兼ねて大学数学を再勉強中です。したがってまだ実数論までとても行ってっていません。教えていただいたことを参考にしながら当面「解析入門」と格闘したいと思っています（笑）。
　本当にありがとうございました

回答No.2

tmppassenger

つまりは「(ε-δ論法による）極限の定義と、順序体の定義『だけ』から、この命題を証明することを考えるとどうなるか？」というのを考えて見てください。順序体の定義は、多分既に学習していると思います。

繰り返しになりますが、一般の順序体では、例えば与えられたaに対し、b^3 = a なるbが必ず存在するとは限らない。