数学赤チャートIIIの例題31「ガウス記号と極限」について、質問です。

質問

数学赤チャートIIIの例題31「ガウス記号と極限」について、質問です。
わからないところが多いので、面倒かもしれませんが、何とぞよろしくお願いします。
問題
既約分数0<p<qについて　数列｛an｝（0≦an≦1）を
　an=np/q-[np/q] (n=1,2.3・・・・・・・)　　で定める

（１）n-mがqで割り切れるとき、an=am を示せ
（２）a1,a2・・・・・・aq は相異なるq個の数であって
　　さらに　a1+a2・・・・・・・・・・・+aq=q-1/2 を示せ
(3)
n→∞　のとき　(a1+a2+・・・・・・・・・・・an)/n を求めよ

こんな問題なんですが、
質問1．(2)についての回答に、1≦ｍ＜ｎ≦q　である整数m nについて、am=anと仮定すると…とあるんですが、なんでｍ＜ｎなんですか？

質問2．(2)の回答に、a1+a2・・・・・・・・・・・+aq=q-1/2 を示せ。の回答で、
｛a1,a2,a3,…aq｝=｛0,1/q,2/q,…q-1/q｝とあります。この、0,1/q,2/q,…q-1/qは、
どうやって出した答えですか？定められた、式からは、この答えは出ません。

質問3．(3)について、n=kq+r(k,rは整数で、0≦r≦q-1)とありますが、0≦r≦q-1の範囲が出てきたのがよくわかりません。

以上なんですが、こんなこともわからないのかと言われそうですが、コツコツ独学を進めているゆえに、何とぞ詳しく解説していただけるとありがたい次第です。
お忙しい中申し訳ないですが、よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。
解答（解説）でどのように言いまわされているのかがわからないので、
なんとも言いきれないところもあるのですが・・・

＞質問1．
おそらく「背理法」から、互いに異なることを示そうとしていると思うのですが、
m＝ nでは同じ項を扱っていることになりますね。
調べなくていい（同じ項がから同じ値になるのは当たり前）ということで、省いているということだと思います。

＞質問2．
たとえば、n＝ qのとき an＝ 0ですよね。
もとの式 np/q-[np/q]がもつ「意味」をよく考えてみるとわかります。
この式から求められているのは、「np/qの小数部分」ということです。
npを qで割った「余り」のようなものであり、(なんとか)/qの形がずらっと並んでいるということです。

そして、(2)の前半の証明から互いに異なること。
すなわち、(なんとか)/qが互いに異なるとあるので、｛a1,a2,a3,…aq｝=｛0,1/q,2/q,…q-1/q｝となっていないといけないということになります。
a1＝○, a2＝△,・・・ではなく、「要素」として書かれているのは、
「どれがどれとは言えないが、集めるとこの要素が含まれている」という意味からです。

具体的に数字で考えてみれば、q＝ 3であれば
{0, 1/3, 2/3}の 3パターンになっている。そして、これが「周期的」に現れることになります。
この周期性は、(1)の証明から述べることができます。
（(1)の証明が持つ「意味」がこれです。）

＞質問3．
上記の「余り」という意識を持てば理解できるのでは？と思いますが、いかがですか？

この問題はガウス記号とか書かれていますが、基本は「余り」に関する内容です。
余りが持っている周期性と一意性（周期の中では値が異なる）ことを利用している問題になります。

お礼

まず、初めに遅くなりましたことを深々とお詫び申し上げます。
このようにご親切な解説は実は、期待していなかったのですが、もう感無量なぐらい親切すぎて理解通り越して、なぜわからなかったんだと恥ずかしい次第です。
本当にありがとうございました。
また、是非とも、よろしくお願いいたします。

回答No.1

f272

(1)
m<nじゃなかったらmとnを入れ替えて，変数名を付け替えればm<nになるでしょ。
(2)
q個の数はすべて異なることと，すべてq分のなんとかになることが分かれば，a1,a2,a3,…,aqと0,1/q,2/q,…,(q-1)/qは全体として同じものになってるはずでしょ。
(3)
rはnをqで割った余りだと考えれば必ず0≦r≦q-1に出来るでしょ。

お礼

遅くなりましたことをお詫びいたします。
素早い回答、まことにありがとうございます。
簡潔に、あっさりでしたが、よくわかりました。
ぜひともまた、よろしくお願いいたします。