数IIIの極限をもとめる問題なのですが・・・・・・

質問

下記の問題が解けません
解ける方、教えてください；；

Ｑ．次の条件によって定められる数列｛ａn｝の極限を求めよ。
a1=1　a2=2 an+2-6an+1+9an=0 (n=1,2,3,……)

見難くてすいませんが
a1 a2 の1,2
an+2 の n+2
an+1 の n+1
an の n
は全て小文字になっています。

よろしくおねがいします。

回答No.3

KitCut-100 · ベストアンサー

与えられた式an+2-6an+1+9an=0 を変形します。

(an+2-3an+1)-3(an+1-3an)=0

と変形できますので、 bn= an+1-3an とおくと
bn+1=3*bn
b1= a2-3a1=2-3=-1
となります。これより bnの一般式は
bn= -3^(n-1)
となります。 これより
an+1=3an-3^(n-1)
ここで an=cn*3^(n-2)とすると(ここがポイントです。）
cn+1=cn-1 ,
c1=3
となり cnの一般式は
cn=4-n
となります。
よって anの一般式は
an=(4-n)*3^(n-2)
となります。

ここで n → ∞ とすると, an→ -∞ となります。
よって答え －∞です。

回答No.2

gef00675

実際に何項か計算してみるとよいです。
その数列は収束すると思いますか？

回答No.1

R_Earl

数列anの一般項を求めて、n → ∞を考えれば良いのではないでしょうか。
an+2 - 6an+1 + 9an = 0の漸化式から一般項を求める方法は分かりますか？
「隣接三項間漸化式」というキーワードで検索すれば、
このタイプの漸化式の解法が見つかると思います。

もしかしたら、一般項を求めずに極限値を求める方法があるかもしれません。