数学IIについて質問です

質問

この問題が解けません。

数列{An}は、条件A１＝7、Ａｎ＋１＝（An）＾3　（ｎ＝１，２，３，・・・）によって定められているとする。
ｎは自然数とするとき、Ａｎを3＾ｎで割ったときの余りが1になることを数学的帰納法によって証明せよ。

僕自身ここまではいけました。

（i）ｎ＝１のとき

Ａ１＝７より
Ａ１÷３＾１＝７÷３＝２　余り１

よってｎ＝１のとき成り立つ

（ii）ｎ＝ｋのときに成り立つと仮定する

このとき、

Ａｋ＝３＾ｋ×Ｍ＋１・・・(1)　（Ｍは自然数で(1)の商である）

が成り立つことが分かる。

そして　ｎ＝ｋ＋１のとき

(1)より

Ａｋ＋１＝３＾（ｋ＋１）×Ｍ＋１

この先がどうやって解けばいいか分かりません。

ＰＣを使い慣れていないので、少なからず変な表示のところがあると思いますが
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

＞ そして　ｎ＝ｋ＋１のとき
＞ (1)より
＞ Ａｋ＋１＝３＾（ｋ＋１）×Ｍ＋１　　←(2)

それはいけない。
(1) の k は、仮定をした時点で固定されているので、
これを +1 ずらして (2) にしてしまうことはできない。

そうではなくて、
(1) から何かを使って (2) を導かなくては。
{ An } は、漸化式で定義されているのだから、
使うべきものは、当然その漸化式だ。

A[k+1] = (A[k])^3 に (1) を代入すると、
A[k+1] を 3^(k+1) で割った余りが求まらない？
計算してみて。