「ネイピア数e」の定義を、「実数の連続性公理」に基づいて正確に述べよ。

質問

「ネイピア数e」の定義を、「実数の連続性公理」に基づいて正確に述べよ。
また、等式lim(ｎ→∞)(1+1/n)^n =Σ(上が∞、下がn=0)(1/n!)が成り立つことを示せ。

回答No.1

Anti-Giants

証明の概略だけ。
まず,a(n)=(1+1/n)^nが増加列であることを示す.
(1+1/n)^n
=Σ_{k=0}^{n}C[n,k]n^{-k}
=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+
…+(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n)/n!・・・(#)
これより増加列であることが分かる。

次にa(n)が上に有界であることを示す。
上の式(#)より
a(n)
≦1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
≦1+1+1/2+1/2^2+…1/2^{n-1}
この和は有界である。

ここで実数の連続性の公理「上に有界な集合は、必ず上限を持つ」を使う。
この場合上に有界な集合は{a(n)}のこと。
そして、上限の性質とa(n)の単調増加性を用いる.

lim_{n→∞}a(n)、b(n)=Σ_{k=0}{n}1/k!とすると、
a(n)≦b(n)よりa(∞)≦b(∞).
(#)よりb(n)≦a(∞).
よってb(n)≦a(∞)≦b(∞)yよりa(∞)=b(∞).