教えてくだい＞＜数学です

質問

a1=3 an+1=1/2(an+3/an)により定めるとき
（１）下に有界であることを示せ
（２）単調減少数列であることを示せ
（３）極限を求めよ
お願いします＞＜

回答No.2

MagicianKuma

続きです。
(2)(1)でan>0が言えたら、an≧√3を証明する。（ヒント：相加平均≧相乗平均）その後、an+1≦anを導き出しましょう。
(3)下に有界で単調減少なら、極限値を持ちます。その値をαとして、an+1=(an+3/an)/2の両辺の極限をとってそれぞれをαで表せばαが計算できます。
lim[an]=α→lim[an+1]=α, lim[an]=α→lim[(an+3/an)/2]=(α+3/α)/2
よって、α=(α+3/α)/2 これを解いてα=√3

回答No.1

MagicianKuma

お！なつかしい。平方根を求めるニュートンラプソン法ですね。
(1)は一例としては数学的帰納法でa_n>0を示せばよい。