一様○○の直感的な意味

質問

たとえば、複素平面上の部分集合Aとして

A上の複素関数fとしたときに、
A上連続、と、A上一様連続、違うのですか？
また、同じ設定のもとで複素関数列{f_n}n:1to∞として
A上収束、と、A上一様収束、違うのですか？

と思ってしまいます。定義を読み返して理解しようとしても、直感的に理解できなくてε-δの定義が覚えられません。

あと、「有界」についてです。
すべてのnについてf_nがA上有界なら、M_n≧|f_n|なるM_nがそれぞれのnに対してあると思うんですが、このM_nの中で最大のものをsup(M_n)とかmax(M_n)で選べると思うんです。それをMとすればMは有限値で、{f_n}はA上一様有界と言えるんでは？と思えてしまうんですが、有界の考え方もやっぱり、各nでf_n有界、と一様有界では意味が違うのでしょうか。

これらの○○と一様○○の間には、どのような違いがあるのでしょうか、直感的に理解したいのですが、教えていただけたらうれしいです。

回答No.2

endo-orexo · ベストアンサー

No.1さんの仰る通りですが、これを直感的にε-δで言いますと...

A上の点をzとして、あるεを定めた時に決まって来るδが
・zによって異なる、つまりzの関数δ(z)となっている→（唯の）連続
・zによらない、つまりA上どこでもδ=定数となっている→一様連続
注：もちろんzに関してであって、何れもδ=δ(ε)とεには依存します

例えば、Aの縁の方で値が大きく変化する関数だと連続にしかなりませんが、A上どこでも定数に近い様な変化の小さい関数ならば一様連続となり得ます。つまり、

・連続性はある一点zでのε-δを考え、それはA上総てのzで正しく成立するが、zに依存する動的なε-δである。
・一様連続性はA上の総ての点で一様に成立する静的なε-δの存在を考える。

などと捉えても良いかも知れません。しつこく言いますと、

・唯の○○→各点でそれぞれ○○の辻褄があっている。
・一様○○→全点で同じ様に通用する○○機構がある。

直感的な概念理解を持って数式に望むのは大事ですね。

お礼

ありがとうございます。
δがｚに依存するかしないか、ということがただの○○と一様○○の違い、ということなのですか。色々と説明の言葉を変えていただいて、わかりやすかったです。
またε-δの定義を見てイメージを作ってみます。

お礼が送れてすみません。

回答No.1

sudoufu

数学で使われる一様は英語のuniformから来る言葉で、同一や一緒といった意味です。
つまり一様○○は何所で観察しても同じであるということになります。
だから、一様収束とただの収束との違いは一様収束はどの部分で観察しても同じ収束の仕方であるのに対し、ただの収束は何所も同じ収束の仕方をするとは限らないのです。

お礼

どうもありがとうございます。
ただの収束は、その点によって違う収束をし、一様収束は、どこでも同じ収束の仕方をする、ということなのでしょうか。アドバイスをいただいてからε-δの定義を見てみると、なんとなくイメージがわいてきました。

お礼が遅れましてすみません。