√（1+√（1+√（1+√（1+...

質問

数列{a_n}をa_(n+1)=√(1+(a_n)) として、初項1とするとき、lim{n→∞}a_nは収束するかという問題なんですが、a_n<a_(n+1)（単調増加）というのはわかるのですが、有界であることの説明がまったく思いつかず、、、
a_n<b_nといったような数列b_nを考えてきょくげんをとろうかなと思ったんですけど思いつかず、、、
ヒントでもいいのでよろしくお願いします

回答No.2

at9_am · ベストアンサー

ちゃんとした証明ではなく概略ですが。

a_(n+1)=√(1+(a_n))
a_(n+1)^2 = 1+(a_n)
a_(n+1)^2 - (a_n) = 1
a_(n+1)^2 - a_(n+1) + a_(n+1) - a_n = 1
今、a_n>1 は明らかだから a_(n+1)^2 - a_(n+1) > 0
単調増加より a_(n+1) - a_n > 0
よって、
a_n^2 - a_n < 1
は明らかだから、上限がある。
単調増加で上限があるため、収束する。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

nag0720

帰納法は？