公式で

質問

公式で
Y＝A^a×B^b×C^cのとき
△Y／Y＝a×△A／A＋b×△B／B＋c×△C／C
というのがありますが、成り立たないように思います。
足し算ではなく掛け算ではないでしょうか

回答No.1

carvelo · ベストアンサー

成り立たないように思うなら，本当に成り立つのかどうか計算してみればいいのです．

Y + △Y ＝ (A+△A)^a×(B+△B)^b×(C+△C)^c
＝ {A^a+a×△A×A^(a-1)+(△Aの二次以上の項)}{B^b+b×△B×B^(b-1)+(△Bの二次以上の項)}{C^c+c×△C×C^(c-1)+(△Cの二次以上の項)}
　　 ≒ A^a×B^b×C^c + A^a×B^b×c×△C×C^(c-1) + A^a×b×△B×B^(b-1)×C^c + a×△A×A^(a-1)×B^b×C^c

です．ただし，ΔA，ΔB，ΔCは十分小さいとし，二次以上の微小量（(ΔA)^2とか△A×△Bとか）が含まれている項は無視しました．
ですから，

△Y/Y ＝ {(Y+△Y)-Y}/Y
≒ {(A^a×B^b×C^c + A^a×B^b×c×△C×C^(c-1) + A^a×b×△B×B^(b-1)×C^c + a×△A×A^(a-1)×B^b×C^c)-(A^a×B^b×C^c)}/(A^a×B^b×C^c)
＝ a×△A／A＋b×△B／B＋c×△C／C

となります．

お礼

ごめんなさい。補足とお礼を間違えました

補足

分かりました！変化率が小さいことが前提で、出る答えも近似値だったんですね。

Y＝4^2×3×4^(-1)
の式で増加率をそれぞれ2倍、3倍、1/2倍として計算したら
23＝9/2となってしまって混乱していました。
回答ありがとうございます。

回答No.2

rndwalker7

足し算になります。
No1さんが丁寧な説明をされてますので
簡単な説明で。

Y＝A^a×B^b×C^c
の対数をとると
ln(Y)=a*ln(A)+b*ln(B)+c*ln(C)　・・・（A)
となります。
(ここでln()は()自然対数をとることを意味します)
上記の式(A)を微分して、対数微分（差分？）の公式
Δlog(f(x)) = Δf/f
を使うことでご質問の式が出ます。

お礼

回答ありがとうございます。
自然対数を忘れてしまったので、高校の教科書を見直して確認しますね。