５次式に関するなんらかの因数分解の公式はあるのでしょうか

質問

３次式に関して、次のような因数分解があり、例えば、３次方程式の解法に使われます。(ウィキペディアを参照しました)

x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z
= (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 - z x - x y - y z)
= (x + y + z)(x + ω y + ω^2 z)(x + ω^2 y + ω z)

４次式に関して、次のような因数分解があり、例えば、４次方程式の解法に使われます。
x^4 - 2 (a^2 + b^2 + c^2) x^2 + 8 a b c x + a^4 + b^4 + c^4 - 2 (a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2)
= (x + a + b + c) (x + a - b - c) (x - a + b - c) (x - a - b + c)

この延長に５次式に関するなんらかの「美しい」「価値のある」因数分解の公式はあるのでしょうか？

５次方程式には代数的解法が存在しないですが、それとは特に無関係のような気もしますが。

回答No.1

ke-beck · ベストアンサー

x^5-(a+b+c+d+e)x^4+(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)x^3
-(abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde)x^2
+(bcde+acde+abde+abce+abcd)x
-abcde
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)

など、いろいろ作れそうですね。

お礼

「美しい」「価値のある」因数分解という意味です