ラグランジュの公式

質問

ラグランジュの公式
(a×b)・(c×d)=(a・c)(b・d)-(a・d)(b・c)
特に、a=c,b=dのとき
公式
∥X×Y∥^2=∥X∥^2∥Y∥^2-(X・Y)^2
になる。
(^2は2乗、a,b,c,dはベクトルです)

ということを授業で習ったのですが、どうしてこうなるのでしょうか？
インターネットで検索したのですが、見つからず困っています。
よろしかったら、アドバイス、サイトなど教えて頂けたら助かります。
よろしくお願いします。

回答No.5

Tacosan

(a・b) はスカラー.

お礼

すみません！
(a・b)・(a・b)だと勘違いしていました。
(a・b)(a・b)だから、(a・b)^2になるんですよね。

本当にすみませんでした。
そして、本当にありがとうございました。

回答No.4

hugen

|a・c　a・d|
|b・c　b・d|
＝
|a1c1＋a2c2＋a3c3　a1d1＋a2d2＋a3d3|
|b1c1＋b2c2＋b3c3　b1d1＋b2d2＋b3d3|
＝
|a1c1　a1d1|
|b1c1　b1d1|
＋・・・＋
|a3c3　a3d3|
|b3c3　b3d3|
＝
|a1　a2|
|b1　b2|c1d2
＋・・・＋
|a3　a2|
|b3　b2|c3d2

補足

アドバイスありがとうございます。
最後のところの
>＝
>|a1　a2|
>|b1　b2|c1d2
>＋・・・＋
>|a3　a2|
>|b3　b2|c3d2

なのですが、

>|a1　a2|
>|b1　b2|c1d2

というのは、どうしてこういう形になっているのでしょうか？
なぜ、c1d2がかけてあるのか、分からなくて…すみません。
よろしかったら、ご教授お願いします。

回答No.3

rabbit_cat

その式の証明自体は、成分計算する、しかないんですが。

そのうち、ベクトル解析といって、∇が入った、そんな計算をやるようになります。
ベクトル解析には、いろんな公式があって覚えるのが大変なんですが、
本当に覚えておかないといけない公式は、
εijk×εlmk = δil×δjm - δim×δjl
だけです。これはつまり、
(a×b)・(c×d)=(a・c)(b・d)-(a・d)(b・c)
のことです。
というわけで、この式は非常に重要なんで暗記すること。この式だけは、成分計算しないと、簡単に証明する方法がありません。
で、
εijk×εlmk = δil×δjm - δim×δjl
ていうのだけを暗記していれば、ベクトル解析のその他の公式は、成分計算することなしに、これからわりと簡単に導出できます。

お礼

アドバイスありがとうございます。

>εijk×εlmk = δil×δjm - δim×δjl
これは、初めて知りました。
こういう書き方もあるのですね。
ベクトルは、これからも色々と出てくると思うので、覚えておきたいと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.2

sanori

こんにちは。
ベクトル関係の公式は、地道に導出するパターンが多いです。

a→ = (ax, ay, az)
b→ = (bx, by, bz)
c→ = (cx, cy, cz)
d→ = (dx, dy, dz)
と置きます。

まず、左辺について。

外積の定義にしたがって、
a→×b→ = (aybz - azby)i + (azbx - axbz)j + (axby - aybx)k
c→×d→ = (cydz - czdy)i + (czdx - cxdz)j + (cxdy - cydx)k

内積は、Ｘ、Ｙ、Ｚそれぞれの成分同士をかけたものの和なので、

左辺 ＝ (a→×b→)・(c→×d→)
= (aybz - azby)(cydz - czdy) + (azbx - axbz)(czdx - cxdz) + (axby - aybx)(cxdy - cydx)
= (aybzcydz - aybzczdy -azbycydz + azbyczdy) + (azbxczdx - azbxcxdz - axbzczdx + axbzcxdz) + (axbycxdy - axbycydx - aybxcxdy + aybxcydx)

右辺の１項目は、
(a→・c→)(b→・d→) = (axcx + aycy + azcz)(bxdx + bydy + bzdz)
= axcxbxdx + axcxbydy + axcxbzdz + aycybxdx + aycybydy + aycybzdz + azczbxdx + azczbydy + azczbzdz
（各項をａ、ｂ、ｃ、ｄ　の順に整列して）
= axbxcxdx + axbycxdy + axbzcxdz + aybxcydx + aybycydy + aybzcydz + azbxczdx + azbyczdy + azbzczdz

（２項目は、略）

こんな感じでやっていきます。
結構な手間ですけどね。

あとは、左辺と右辺の各項を比較して、同じもの同士を消していって、０＝０　になることを確かめる作業になります。
たとえば上記で、axbycxdy　とう項は両辺にありますから、消えますね。
なお、axbxcxdx　のような項は、右辺の中だけで消えます。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

すみません！
補足のところの質問は、私の勘違いだと分かりました。
(a・b)・(a・b)だと勘違いしていました。
(a・b)(a・b)だから、(a・b)^2になるんですよね。

本当にすみませんでした。
回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
計算したところ、0=0になることを確かめることができました。

そして、∥X×Y∥^2=∥X∥^2∥Y∥^2-(X・Y)^2を出すために、a=c,b=dにすると、
ラグランジュの公式より、
(a×b)・(a×b)=(a・a)(b・b)-(a・b)(b・a)
また、∥X∥:=(X・X)^1/2より
∥a×b∥^2
=∥a∥^2∥b∥^2-(a・b)(b・a)
=∥a∥^2∥b∥^2-(a・b)(a・b)
=∥a∥^2∥b∥^2-∥a・b∥^2

(a・b)(b・a)が∥a・b∥^2になってしまいました。
(a・b)(b・a)がどう考えると、(a・b)^2になるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

外積を使ってるんだからすべて 3次元ベクトルだよね.
だったら, 全部成分でおいて計算すればいいだけだと思う.

お礼

すみません！
補足のところの質問は、私の勘違いだと分かりました。
(a・b)・(a・b)だと勘違いしていました。
(a・b)(a・b)だから、(a・b)^2になるんですよね。

本当にすみませんでした。
アドバイスありがとうございました。

補足

No.2さんのように、計算してみて、0=0になることを確認しました。
そして、
∥X×Y∥^2=∥X∥^2∥Y∥^2-(X・Y)^2を出すために、a=c,b=dにすると、
ラグランジュの公式より、
(a×b)・(a×b)=(a・a)(b・b)-(a・b)(b・a)
また、∥X∥:=(X・X)^1/2より
∥a×b∥^2
=∥a∥^2∥b∥^2-(a・b)(b・a)
=∥a∥^2∥b∥^2-(a・b)(a・b)
=∥a∥^2∥b∥^2-∥a・b∥^2

(a・b)(b・a)が∥a・b∥^2と考えてしまうのですが、どう考えると、(a・b)^2になるのでしょうか？

よろしくお願いします。